O método da Soma Raiz Quadrada (RSS) é um método de análise de tolerância estatística.
Em muitos casos, as dimensões reais das peças individuais ocorrem perto do centro da faixa de tolerância com muito poucas peças com dimensões reais perto dos limites de tolerância. Isto, naturalmente, assume que as peças estão na sua maioria centradas e dentro da faixa de tolerância.
RSS assume que a distribuição normal descreve a variação das dimensões. A curva em forma de sino é simétrica e totalmente descrita com dois parâmetros, a média, μ, e o desvio padrão, σ.
As variações, não os desvios padrão, são aditivas e fornecem uma estimativa da variação combinada da peça. O resultado de adicionar a média e tomar o quadrado da soma raiz dos desvios padrão fornece uma estimativa da distribuição normal da pilha de tolerância.
E, n é o número de peças na pilha,
E, σsys é o desvio padrão da pilha.
A distribuição normal tem a propriedade de que aproximadamente 68,2% dos valores estão dentro de um desvio padrão da média. Da mesma forma, 95,4% dentro de 2 desvios padrão e 99,7% dentro de 3 desvios padrão.
Simples exemplo
Usando o mesmo exemplo do método do pior caso, temos cinco placas que terão dimensões diferentes cada uma. Para um dado conjunto de cinco, não sabemos as cinco dimensões individuais, mas podemos estimar quais serão essas dimensões usando estatísticas.
Em média as placas têm 25mm de espessura. E assumindo que cada peça será ligeiramente diferente do valor médio e a distribuição normal descreve a variação, precisamos então estimar o desvio padrão da espessura da peça.
Para este exemplo, vamos medir 30 placas e calcular o desvio padrão. Se encontrarmos o desvio padrão de 0,33mm sabemos que a maioria das peças terá dimensões dentro da tolerância de 0,99mm se as peças seguirem uma distribuição normal (mais sobre como verificar esta suposição mais adiante). Para combiná-los usamos a fórmula para adicionar as variâncias e converter de volta ao desvio padrão com uma raiz quadrada.
Neste caso adicionamos as cinco variâncias, 0.332, e pegamos a raiz quadrada dessa soma.
$$$ \large\displaystyle {{\sigma }_{\sys}}=\sqrt{\sum\nolimits_{i=1}^{5}{0.33_{i}^{2}}}=0.7379$$
E, desde aproximadamente 99.7% dos valores estão dentro de +/- 3σ, o intervalo de valores combinados de espessura para a pilha de cinco placas deve estar dentro de 125mm +/- (3 x 0,7379mm ou 2,2137mm) ou a maioria cai entre 122,79mm e 127,21mm.
Para estimar o número de conjuntos fora da tolerância desejada podemos usar os valores de distribuição normal do sistema, neste caso, a média, μ, é 125, e o desvio padrão, σ, é 0,7379. Dentro da Excell utilize a função NORMDIST. Em geral, construir a célula da seguinte forma:
=1-(NORMDIST(Média+Tolerância, Média, σsys)-0.5)*2
Onde a média é da média combinada dos meios das peças envolvidas na pilha. Neste exemplo a média do sistema é 125mm.
A tolerância é o valor desejado, neste exemplo vamos assumir que gostaríamos que a pilha total estivesse dentro de 2mm da média, ou uma tolerância de 2.
O σsys é o desvio padrão das peças combinadas encontradas usando a soma raiz desvios padrão quadrática das peças envolvidas.
Subtraímos 0.5 para encontrar a probabilidade unilateral de o resultado estar abaixo do valor máximo (média mais tolerância), e múltiplas a probabilidade resultante por 2 para encontrar a probabilidade de a montagem final estar acima ou abaixo da tolerância desejada.
Neste exemplo, para uma tolerância de 2mm, esperaríamos que 99,33% das montagens tivessem uma espessura dentro dos 125mm+/-2mm. Isto implica que devemos esperar que uma montagem em cerca de 300 resulte numa espessura inferior a 123mm ou superior a 127mm. Variando a tolerância no cálculo podemos estimar a taxa de refugo ou defeito e comparar o custo do refugo/falha com o custo de tolerâncias individuais mais apertadas.
A planilha de cálculo que acompanha este exemplo é elaborada utilizando a abordagem acima. Veja a planilha RSS. exemplos de análise de tolerância
Melhores práticas e Suposições
A suposição de distribuição normal baseia-se na variação do processo tem muitas pequenas perturbações que geralmente adicionam para criar a dimensão final. É melhor medir realmente aproximadamente 30 amostras para estimar a média e o desvio padrão.
Quando a coleta de medições não for viável, então assumir que as peças terão dimensões centradas na faixa de tolerância e terão mais ou menos três desvios padrão em toda a faixa de tolerância é uma suposição inicial conservadora. Naturalmente, isto implica que o processo de criação das peças é capaz de criar 99,7% das peças dentro das especificações de tolerância.
Se medir menos de 30 peças para estimar o desvio padrão, certifique-se de usar a fórmula de desvio padrão da amostra.
$$ \large\displaystyle \sigma =\sqrt{\frac{\sum\nolimits_{i=1}^{N}{{{{{{\i}-esquerda( {{{x}_{i}}-bar{x} {x} {2}}}}{N-1}}$$$
Onde N é o número de amostras,
xi é a i-ésima medida,
e x̄ é a média amostral das amostras.
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