Há 50 anos atrás, a 20 de Julho de 1969, Neil Armstrong tornou-se o primeiro humano a pisar a superfície da lua. Ainda acho isso incrível – tanto a aterragem na Lua como o facto de ter sido há meio século atrás. Em homenagem a esse feito histórico, e consciente da nossa pegada de carbono à medida que os planos se desenvolvem para uma viagem de retorno, pensei em estimar quanto tempo poderia levar para chegar lá de bicicleta.
O quê? Como disse o Presidente John F. Kennedy, fazemos essas coisas não porque sejam fáceis, mas porque são difíceis. E trazem à tona algumas grandes questões de física! Eu vou te guiar pelo básico, e depois vou te deixar com algumas perguntas para o dever de casa.
Então vamos tirar algumas questões de implementação do caminho. Precisaríamos de enfiar um cabo entre a Terra e a Lua, obviamente. E você, se escolhesse aceitar esta missão, teria uma bicicleta branca e elegante da NASA com rodas especiais para andar ao longo do cabo. (Vamos assumir que não haverá perda de energia por fricção.) Oh, e as rodas só rolam para um lado, então você não vai cair se parar para descansar.
Apenas para ser claro, este esquema não teria funcionado em termos de tempo para o programa Apollo. Kennedy prometeu colocar um homem na lua antes da década acabar, e como estava, a NASA mal conseguiu. Felizmente, a nave espacial Apollo 11 levou apenas quatro dias para chegar lá. Fazer a viagem de bicicleta teria ultrapassado esse prazo. Mas exatamente quão tarde teríamos chegado?
Sair do chão
Para começar, precisamos de alguns fatos para trabalhar. Primeiro, a que distância está a lua? Como a órbita da Lua à volta da Terra não é perfeitamente circular, não há uma resposta. Mas vamos com uma distância média de 240.000 milhas (386.000 km) – esse é o número em que penso quando o meu carro está ficando velho. Uma vez atingido 240.000 no odômetro, sei que já fui longe o suficiente para chegar à lua.
Agora, você pode pensar, OK, um humano pode pedalar 15 milhas por hora; eu posso usar isso para calcular a duração da viagem. Não. Podes conseguir fazer 15 mph numa estrada plana agradável, mas neste caso, estarias a pedalar a direito, como se estivesses a subir. Então, para realmente complicar a matemática, à medida que você se afasta da Terra, a atração da gravidade decresce continuamente. A cada dia, o mesmo esforço o levaria um pouco mais longe. Eventualmente você se aproximaria o suficiente da lua para que ela se tornasse uma descida e você poderia apenas costear.
Então, em vez de estimar a velocidade, que variaria, vou estimar a saída de energia de um humano. Se você é um ciclista do Tour de France, você pode ser capaz de produzir 200 watts durante seis horas por dia. (Confira a etapa 4 de Ben King em Strava.) Vamos usar esse valor por enquanto; você pode mudá-lo depois se você não for um ciclista do Tour de France.
Next, queremos descobrir quanto tempo levaria para subir apenas uma curta distância Δy na sua bicicleta especial com cabo de lua. Digamos que o campo gravitacional tem uma força g (em newtons por quilograma). A mudança na energia potencial gravitacional (UG) para esta subida curta seria:
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Nesta expressão, m é a massa do humano (em quilogramas). Como a potência (P) é a mudança na energia dividida pela mudança no tempo, posso usar minha estimativa de potência para encontrar o tempo (Δt) que leva para subir um pouco:
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Por que estou a usar uma distância curta? Em breve estará claro. Primeiro, vamos fazer uma verificação rápida: Suponha que o humano tem uma massa de 75 kg (165 libras) e uma potência de 200 watts. Quanto tempo demoraria para subir 1 metro? Com esses números, recebo um tempo de 3.675 segundos.
P> Parece-lhe muito longo? Bem, sim e não. Sim, é verdade que você poderia subir 1 metro de altura em algumas escadas em, tipo, 1 segundo. Mas você estaria usando mais de 200 watts de potência. Imagine tentar manter esse ritmo para SEIS HORAS DE CORREIO. Sim, então esta expressão parece boa.
Lidando com a mudança da gravidade
P>Podemos fazer esta mesma coisa durante toda a viagem à lua? Receio que não. O problema é esse factor g. Pode parecer que a gravidade não muda quando se sobe umas escadas, mas isso é só porque se desvaneceu antes de se chegar a algum lado. O campo gravitacional enfraquece à medida que a distância do centro da Terra aumenta. Podemos encontrar o valor (vetorial) do campo gravitacional com a seguinte equação:
Neste diagrama, se você for aquele ponto cinzento no espaço, podemos calcular a força gravitacional nesse ponto usando a equação à direita. G é uma constante gravitacional universal, ME é a massa da Terra, e r é um vetor do centro da Terra para você.
Mas espere! Não é só a Terra que tem gravidade. A Lua também tem, por isso preciso de acrescentar outro termo à minha equação. Digamos que a Lua tem uma massa de mm, e a distância da Terra até a Lua é R. Agora eu posso calcular o campo gravitacional total:
Eu estou a fazer uma espécie de batota ao tornar positivo o componente de g devido à Terra, mas desta forma ele irá corresponder ao valor na superfície da Terra do meu cálculo anterior. Aqui está um gráfico da magnitude deste campo gravitacional que vai da Terra para a Lua. (Aqui está o código.)
Iniciar na Terra, o campo gravitacional é 9.8 N/kg (isso é bom). Na superfície da lua, o campo gravitacional está na direção oposta, com uma magnitude de 1,6 N/kg. Isso também se verifica: A força do campo gravitacional da Lua é cerca de um sexto do da Terra.
Mas olha: Para a maior parte da viagem, os efeitos da gravidade não são zero, mas são bastante pequenos. Começar seria árduo, mas uma vez que você chegou a cerca de, oh, 10.000 milhas, a força gravitacional da Terra é de apenas 10% do que está no chão. Isso pode parecer longe, mas lembra-te que são 240.000 milhas até à Lua. E depois disso, você pode realmente ganhar velocidade. Finalmente, no final, é uma descida fácil para a superfície lunar. Talvez um pouco fácil demais – mais isso em um minuto.
Sua hora estimada de chegada
Agora que eu tenho uma expressão para o campo gravitacional, eu posso repetir meu cálculo para o tempo de viagem baseado na potência humana – este tempo recalculando g para cada pequeno passo ao longo do caminho. Aqui está o que recebo para a distância percorrida em função do tempo. Não é a viagem inteira, apenas até ao ponto em que a viagem muda para “descer”. (Aqui está o código.)
Na verdade estou surpreso: Levaria apenas 267 dias. Isso é menos do que eu imaginava! Tomando a nossa distância de 240.000 milhas, isso funciona a uma velocidade média de 37 mph. Claro, são 267 dias de pedalar 24/7 a um nível de esforço considerável. Se em vez disso pedalasse durante seis horas por dia, levaria quatro vezes mais tempo do que isso, ou seja, quase três anos, e nem sequer é até à lua.
E quanto ao resto da viagem? Uma opção seria simplesmente parar de pedalar. A maioria continuaria na mesma velocidade até estar muito mais perto da lua – mas isso ainda é bastante rápido. Uma vez que você alcançasse a superfície da lua, você meio que cairia. Mas a que velocidade seria isso? Aqui está um enredo da velocidade da bicicleta em função do tempo:
Yup. Isso é uma rápida lua-lua-super rápida. Por volta do dia 258 você chegaria a 100 metros por segundo (cerca de 220 mph). Uma semana mais ou menos depois você estaria realmente fazendo bom tempo, até 1.000 m/s (2.200 mph).
Quando o campo gravitacional fica realmente pequeno, toda a energia do motociclista apenas vai para aumentar a velocidade. Mas na verdade, há um erro no meu modelo que o tornaria ainda mais rápido (provavelmente). Os meus cálculos consideram toda a energia do humano indo para a energia potencial gravitacional para aumentar a distância. Mas quando o campo gravitacional é baixo, não leva muito tempo para se mover “para cima” – então você acaba super rápido. Este modelo não tem em conta directamente as alterações na energia cinética, e assume que o cavaleiro começa com uma velocidade zero no início de cada passo. Mas ainda acho que o cálculo do tempo total parece legítimo.
Acho que é uma coisa boa que os astronautas da NASA usaram um foguete em vez de uma moto. Agora para algum trabalho de casa.
Trabalho de casa
- Onde está o ponto em que o campo gravitacional total tem uma magnitude zero? Isto não deve ser muito difícil.
- No meu cálculo, eu usei uma massa de 75 kg de cavaleiro. Isso é muito pequeno, pois não inclui a massa da moto. E se você mudar a massa total do ciclista para 100 kg ou talvez até 200 kg? Como isso muda o tempo de viagem?
- Você não pode pedalar tanto tempo sem comer. Usando uma massa de ciclista de 100 kg, quantos sanduíches seriam necessários para chegar à lua?
- Pois não pode simplesmente encostar no Denny’s à beira da estrada para comer, terá de trazer esses sanduíches consigo. Quanto é que isso aumenta a massa total?
- Porquê um cabo que vai da Terra até à Lua? Faça uma estimativa da quantidade de aço necessária para fazer um cabo como este.
- O sistema Terra-Lua não está estacionário. Ao invés disso, ele gira. Como esta rotação mudaria o tempo necessário para chegar à Lua numa bicicleta?
- Lua>Venha com um plano de aterragem na Lua. A que velocidade você viajaria? Quando você iria mais devagar? Quanta energia precisaria de ser dissipada (de alguma forma)?
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