Eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion modelliert das Verhältnis zwischen Produktionsoutput und Produktionsinputs (Faktoren). Sie wird verwendet, um das Verhältnis der Inputs zueinander für eine effiziente Produktion zu berechnen und um den technologischen Wandel in den Produktionsverfahren abzuschätzen. Die allgemeine Form einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion für einen Satz von \(n\) Inputs lautet: \(Y\) steht für den Output, \(x_{i}\) für den Input \(i\), und \(\gamma\) und \(\alpha_{i}\) sind Parameter, die die Gesamteffizienz der Produktion und die Reaktion des Outputs auf Veränderungen der Inputmengen bestimmen. Die Anwendung dieser Funktionsform zur Messung der Produktion geht auf den Mathematiker Charles Cobb und den Wirtschaftswissenschaftler Paul Douglas zurück, die damit die relative Bedeutung der beiden Inputfaktoren Arbeit und Kapital für die Produktion des verarbeitenden Gewerbes in den USA im Zeitraum 1899 bis 1922 untersuchten. In ihrem ursprünglichen Modell beschränken Cobb und Douglas die Parameter der Produktionselastizität \(\alpha_{1}\) und \(\alpha_{2}\) auf den Bereich \(\alpha_{i}\in\left(0,1\right)\) und auf die Summe eins, was konstante Skalenerträge impliziert. Die Funktion lautet also: \(x_{1}\) und \(x_{2}\) stehen für Arbeit bzw. Kapital. Nimmt man den natürlichen Logarithmus beider Seiten der Gleichung, so ergibt sich, dass für Daten zu Produktion, Arbeit und Kapital die Parameter \(\gamma\) und \(\alpha_{1}\) mit Hilfe von Ordinary Least Squares geschätzt werden können. Auf der Grundlage ihrer Daten ermitteln Cobb und Douglas einen Wert von 0,75 für \(\alpha_{1}\), was bedeutet, dass im untersuchten Zeitraum drei Viertel des Wertes der Produktion des verarbeitenden Gewerbes in den USA auf die Arbeit entfielen (das restliche Viertel auf das Kapital). Ihr Schätzwert für den Effizienzparameter \(\gamma\) beträgt 1,01, was, da er größer als 1 ist, die positiven Auswirkungen unbeobachtbarer Kräfte auf die Produktion durch die Kombination von Arbeit und Kapital widerspiegelt.
Der multiplikative Charakter einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion, bei der positive Werte für \(\alpha_{i}\) angenommen werden, bedeutet, dass die Inputs in der Produktion komplementär sind. Im Standardmodell von Arbeit und Kapital steigert eine Erhöhung der Kapitalmenge die Produktion nicht nur direkt, sondern auch indirekt durch ihre Auswirkungen auf die Produktivität der Arbeit. Mathematisch gesehen ist die partielle Ableitung der Produktionsleistung \(Y\) nach Arbeit \(x_{1}\) und Kapital \(x_{2}\) positiv. Außerdem sind aufgrund der Annahme, dass \(\alpha_{i}\in\links(0,1\rechts)\) die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung des Produktionsoutputs in Bezug auf Arbeit und in Bezug auf Kapital beide negativ, was bedeutet, dass die Grenzerträge für jeden Input allein abnehmen. Wenn man dem Produktionsprozess entweder mehr Arbeit oder mehr Kapital (aber nicht beides) hinzufügt, steigt die Produktion, allerdings mit abnehmender Rate. Außerdem ist die Substitutionselastizität zwischen den Inputs konstant und aufgrund der funktionalen Form gleich eins. Eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion mit zwei Inputs lässt sich grafisch in Form von Isoquanten darstellen: Kombinationen aus beiden Inputs, für die der Output konstant ist. In der Grafik hier gibt es vier solcher Isoquanten für die (konstanten) Outputniveaus \(\overline{Y_{1}}\), \(\overline{Y_{2}}\), \(\overline{Y_{3}}\) und \(\overline{Y_{4}}\). Je weiter die Isoquante vom Ursprung entfernt ist, desto höher ist der Output \(\overline{Y_{4}}>\overline{Y_{3}}>\overline{Y_{2}}>\overline{Y_{1}}\). Welche genaue Kombination der Inputs \(x_{1}\) und \(x_{2}\) für die Produktion optimal ist, wird durch das dem Produzenten zur Verfügung stehende Budget sowie das Kostenverhältnis des Inputs \(x_{2}\) zum Input \(x_{1}\) bestimmt, das in Form einer Isokostenlinie in das Schaubild eingezeichnet werden kann (siehe den Artikel zur Substitutionselastizität).
Cobb und Douglas haben selbst eingeräumt, dass ihre Produktionsfunktion nicht auf einer soliden theoretischen Grundlage beruht und auch nicht als Produktionsgesetz zu verstehen ist; sie stellt lediglich eine statistische Annäherung an die beobachteten Beziehungen zwischen Produktionsinputs und Output dar. Dennoch sind ihre einfachen mathematischen Eigenschaften für Wirtschaftswissenschaftler attraktiv und haben dazu geführt, dass sie im vergangenen Jahrhundert zu einem Standard in der mikroökonomischen Theorie geworden ist.
Weitere Lektüre:
Für den Hintergrund und einen Überblick über die wichtigsten Eigenschaften der Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen siehe insbesondere die Abschnitte 6, 7 und 8 des Originalartikels von Cobb und Douglas, „A Theory of Production“ (The American Economic Review, 1928).
Gut zu wissen:
Die Cobb-Douglas-Funktionsform wird nicht nur in der Produktionstheorie verwendet, sondern ist auch in der mikroökonomischen Verbrauchertheorie zum Standard geworden, wo sie als Nutzenfunktion angewendet wird, wobei \(Y\) zu \(U\) für den Nutzen wird. Die \(x_{i}\) stellen dann Konsumgüter dar, und wenn die Nutzenfunktion unter einer Budgetbeschränkung maximiert wird, geben die Werte für \(\alpha_{i}\) an, wie das Individuum das Budget optimal auf die Güter verteilen wird.