Metoda sumy pierwiastków kwadratowych (RSS) jest statystyczną metodą analizy tolerancji.
W wielu przypadkach rzeczywiste wymiary poszczególnych części występują w pobliżu środka zakresu tolerancji z bardzo małą liczbą części o rzeczywistych wymiarach w pobliżu granic tolerancji. Zakłada to oczywiście, że części są w większości wyśrodkowane i mieszczą się w zakresie tolerancji.
RSS zakłada, że rozkład normalny opisuje zmienność wymiarów. Krzywa w kształcie dzwonu jest symetryczna i w pełni opisana dwoma parametrami, średnią μ i odchyleniem standardowym σ.
Wariancje, a nie odchylenia standardowe, są addytywne i zapewniają oszacowanie łącznej zmienności części. Wynik dodania średnich i wzięcia pierwiastka sumy kwadratów odchyleń standardowych zapewnia oszacowanie rozkładu normalnego stosu tolerancji. Wzór na łączenie odchyleń standardowych stosu to
$$ ™large ™displaystyle {{sigma }_{sys}}= ™sqrt{ ™suma ™nolimits_{i=1}^{n}{ ™sigma _{i}^{{2}}}}$$
Gdzie σi jest odchyleniem standardowym i-tej części,
I n jest liczbą części w stosie,
I σsys jest odchyleniem standardowym stosu.
Rozkład normalny ma tę własność, że około 68,2% wartości mieści się w granicach jednego odchylenia standardowego od średniej. Podobnie, 95.4% w granicach 2 odchyleń standardowych i 99.7% w granicach 3 odchyleń standardowych.
Proste przykłady
Używając tego samego przykładu co w przypadku metody najgorszego przypadku, mamy pięć płyt, z których każda będzie miała inne wymiary. Dla każdego z pięciu zestawów nie znamy pięciu indywidualnych wymiarów, ale możemy oszacować, jakie to będą wymiary używając statystyki.
Średnio płyty mają 25mm grubości. Zakładając, że każda część będzie się nieco różnić od wartości średniej, a rozkład normalny opisuje tę zmienność, musimy oszacować odchylenie standardowe grubości części.
Dla tego przykładu zmierzmy 30 płyt i obliczmy odchylenie standardowe. Jeśli stwierdzimy, że odchylenie standardowe wynosi 0,33 mm, wiemy, że większość części będzie miała wymiary w granicach tolerancji 0,99 mm, jeśli części będą miały rozkład normalny (więcej o tym, jak sprawdzić to założenie, później). To jest nasze oszacowanie, jak faktycznie zmienia się grubość części.
Składając pięć bloków, średnia grubość jest 5 razy większa od średniej grubości lub 125mm.
Spodziewamy się, że około 99,7% stosów pięciu bloków będzie miało łączną grubość w zakresie plus lub minus 3 odchyleń standardowych połączonych płyt. W celu ich połączenia używamy wzoru na dodanie wariancji i przeliczenie z powrotem na odchylenie standardowe za pomocą pierwiastka kwadratowego.
W tym przypadku dodajemy pięć wariancji, 0.332, i bierzemy pierwiastek kwadratowy z tej sumy.
$ ^large}displaystyle {{sigma }_{sys}}==sqrt{suma}nolimits_{i=1}^{5}{0.33_{i}^{2}}}=0.7379$$
A ponieważ około 99.7% wartości mieści się w przedziale +/- 3σ, zakres połączonych wartości grubości dla stosu pięciu płyt powinien mieścić się w przedziale 125mm +/- (3 x 0,7379mm lub 2,2137mm) lub większość z nich powinna mieścić się w przedziale 122,79mm – 127,21mm.
Aby oszacować liczbę zespołów poza pożądaną tolerancją, możemy użyć wartości rozkładu normalnego systemu, w tym przypadku średnia, μ, wynosi 125, a odchylenie standardowe, σ, wynosi 0,7379. W programie Excell użyj funkcji NORMDIST. Ogólnie rzecz biorąc, należy skonstruować komórkę w następujący sposób:
=1-(NORMDIST(Mean+Tolerance, Mean, σsys)-0.5)*2
Gdzie średnia jest średnią połączonych średnich z części biorących udział w stosie. W tym przykładzie średnia systemu wynosi 125 mm.
Tolerancja jest pożądaną wartością, w tym przykładzie załóżmy, że chcielibyśmy, aby całkowity stos był w granicach 2 mm od średniej lub tolerancji 2.
Podsumowanie σsys jest odchyleniem standardowym połączonych części znalezionym przy użyciu sumy pierwiastków kwadratowych odchyleń standardowych zaangażowanych części.
Odejmujemy 0.5, aby znaleźć jednostronne prawdopodobieństwo, że wynik będzie poniżej wartości maksymalnej (średnia plus tolerancja), a następnie mnożymy otrzymane prawdopodobieństwo przez 2, aby znaleźć szansę, że końcowy zespół jest powyżej lub poniżej żądanej tolerancji.
W tym przykładzie, dla tolerancji 2 mm, oczekiwalibyśmy, że 99,33% zespołów będzie miało grubość w zakresie 125 mm+/-2 mm. Oznacza to, że powinniśmy oczekiwać, że jeden zespół na około 300 będzie miał grubość cieńszą niż 123 mm lub grubszą niż 127 mm. Zmieniając tolerancję w obliczeniach, możemy oszacować współczynnik złomowania lub wadliwości i porównać koszt złomowania/usterek z kosztem ściślejszych tolerancji poszczególnych części.
Załączony arkusz kalkulacyjny zawiera ten przykład opracowany przy użyciu powyższego podejścia. Zobacz arkusz RSS. przykłady analizy tolerancji
Najlepsze praktyki i założenia
Założenie rozkładu normalnego opiera się na tym, że zmienność procesu ma wiele małych perturbacji, które generalnie dodają się, aby stworzyć wymiar końcowy. Najlepiej jest rzeczywiście zmierzyć około 30 próbek, aby oszacować średnią i odchylenie standardowe.
Gdy zebranie pomiarów nie jest wykonalne, konserwatywnym założeniem jest przyjęcie, że części będą miały wymiary wyśrodkowane w zakresie tolerancji i będą miały plus lub minus trzy odchylenia standardowe w całym zakresie tolerancji. Oczywiście, zakłada to, że proces tworzenia części jest w stanie stworzyć 99,7% części w ramach specyfikacji tolerancji.
Jeśli mierzymy mniej niż 30 części, aby oszacować odchylenie standardowe, należy użyć przykładowego wzoru na odchylenie standardowe.
$$ ™large ™displaystyle ™sigma = ™sqrt{{frac{sum}nolimits_{i=1}^{N}{{left( {{x}_{i}}-{bar{x}} ™right)}^{2}}}}{N-1}}$$
Gdzie N to liczba próbek,
xi to i-ty pomiar,
a x̄ to średnia z próbek.
Related:
Worst Case Tolerance Analysis (article)
Variance (article)
Process Capability (article)
Ten szybki wstęp do trzech metod analizy statystycznej pozwala szybko określić lub ocenić tolerancje części. Ponadto dowiesz się, dlaczego tolerancje są krytyczne dla osiągnięcia niezawodności produktu lub systemu.
Zaloguj się za pomocą rejestracji w witrynie, aby natychmiast pobrać ten ebook, który zawiera przykłady krok po kroku i szczegóły dotyczące danych potrzebnych do rozpoczęcia pracy już dziś.