by: adminPosted on:

Axa semi-majoră

File:Semimajoraxis.png

Axa semigrea a unei elipse

În geometrie, termenul de axă semigrea (de asemenea, axa semimajoră) este folosit pentru a descrie dimensiunile elipsei și ale hiperbolelor.

Elipsa

Axa majoră a unei elipse este diametrul cel mai lung al acesteia, o linie care trece prin centru și prin ambele focare, capetele sale aflându-se în punctele cele mai largi ale formei. Axa semimare este o jumătate din axa majoră și, astfel, pornește de la centru, trece printr-un focar și ajunge la marginea elipsei.

Este legată de axa semimare {\displaystyle b\,\!} prin excentricitatea {\displaystyle e\,\!} și rectul semilat {\displaystyle \ell \,\!}, după cum urmează:

{\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,\!}{\displaystyle \ell =a(1-e^{2})\,\!}{\displaystyle a\ell =b^{2}\,\!}.

O parabolă poate fi obținută ca limită a unei secvențe de elipse în care un focar este menținut fix în timp ce celuilalt i se permite să se îndepărteze arbitrar într-o direcție, păstrând {\displaystyle \ell \,\!} fix. Astfel, {\displaystyle a\,\!} și {\displaystyle b\,\!} tind spre infinit, {\displaystyle a\,\!} mai repede decât {\displaystyle b\,\!}.

Axa semigrea este valoarea medie a celor mai mici și mai mari distanțe de la un focar la punctele de pe elipsă. Acum, considerați ecuația în coordonate polare, cu un focar la origine și celălalt pe axa x pozitivă,

{\displaystyle r(1-e\cos \theta )=l\,\!}

The mean value of {\displaystyle r={\ell \over {1+e}}\,\!} and {\displaystyle r={\ell \over {1-e}}\,\!}, is {\displaystyle a={\ell \over {1-e^{2}}}\,\!}.

Hyperbola

The semi-major axis of a hyperbola is one half of the distance between the two branches; if this is a in the x-direction the equation is:

{\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1}

In terms of the semi-latus rectum and the eccentricity we have

{\displaystyle a={\ell \over e^{2}-1}}

Astronomy

Orbital period

In astrodynamics the orbital period {\displaystyle T\,} of a small body orbiting a central body in a circular or elliptical orbit is:

{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3}/\mu }}}

where:

{\displaystyle a\,}este lungimea semi-axei majore a orbitei{\displaystyle \mu }este parametrul gravitațional standard

Rețineți că pentru toate elipsele cu o anumită semi-axă majoră, perioada orbitală este aceeași, indiferent de excentricitate.

În astronomie, axa semi-majoră este unul dintre cele mai importante elemente orbitale ale unei orbite, alături de perioada orbitală a acesteia. Pentru obiectele din sistemul solar, axa semimare este legată de perioada orbitei prin cea de-a treia lege a lui Kepler (derivată inițial empiric),

{\displaystyle T^{2}=a^{3}\,}

unde T este perioada în ani, iar a este axa semimare în unități astronomice. Această formă se dovedește a fi o simplificare a formei generale pentru problema celor două corpuri, așa cum a fost determinată de Newton:

{\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}}{G(M+m)}}a^{3}\},}

unde G este constanta gravitațională, iar M este masa corpului central și m este masa corpului care orbitează. În mod obișnuit, masa corpului central este atât de mult mai mare decât cea a corpului care orbitează, încât m poate fi ignorată. Făcând această presupunere și folosind unitățile de măsură tipice astronomiei rezultă forma mai simplă pe care a descoperit-o Kepler.

În mod remarcabil, traiectoria corpului orbital în jurul baricentrului și traiectoria sa în raport cu primarul său sunt ambele elipse. Axa semi-major folosită în astronomie este întotdeauna distanța dintre primar și secundar; astfel, parametrii orbitali ai planetelor sunt dați în termeni heliocentrici. Diferența dintre orbita primocentrică și cea „absolută” poate fi cel mai bine ilustrată prin examinarea sistemului Pământ-Lună. Raportul de masă în acest caz este de 81,30059. Distanța caracteristică Pământ-Lună, axa semi-majoră a orbitei lunare geocentrice, este de 384.400 km. Pe de altă parte, orbita lunară baricentrică are o axă semi-majoră de 379.700 km, contraorbita Pământului absorbind diferența de 4.700 km. Viteza medie a orbitei baricentrice a Lunii este de 1,010 km/s, în timp ce cea a Pământului este de 0,012 km/s. Totalul acestor viteze dă viteza orbitală medie lunară geocentrică, 1,022 km/s; aceeași valoare poate fi obținută dacă se ia în considerare doar valoarea axei semigrea geocentrice.

Distanța medie

Se spune adesea că axa semigrea este distanța „medie” dintre primar (focarul elipsei) și corpul orbital. Acest lucru nu este destul de exact, deoarece depinde asupra a ceea ce este luată media.

  • Mediind distanța asupra anomaliei excentrice (q.v.) rezultă într-adevăr axa semi-majoră.
  • formarea mediei asupra adevăratei anomalii (adevăratul unghi orbital, măsurat la focar) are ca rezultat, în mod ciudat, axa semiminoră {\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,\!}.
  • în cele din urmă, calculând media anomaliei medii (fracțiunea din perioada orbitală care s-a scurs de la pericentru, exprimată sub formă de unghi), se obține în cele din urmă media în timp (ceea ce înseamnă de obicei „medie” pentru profani): {\displaystyle a(1+{\frac {e^{2}}{2}})\,\!}.

Media în timp a inversului razei, {\displaystyle r^{-1}\,\!}, este {\displaystyle a^{-1}\\,\!}.

Energie; calculul axei semi-majore din vectorii de stare

În astrodinamică axa semi-majore {\displaystyle a\,} poate fi calculată din vectorii de stare ai orbitelor:

{\displaystyle a={-\mu \over {2\epsilon }}\,} for an elliptical orbit and {\displaystyle a={\mu \over {2\epsilon }}\,} for a hyperbolic trajectory

and

{\displaystyle \epsilon ={v^{2} \over {2}}-{\mu \over \left|\mathbf {r} \right|}} (specific orbital energy)

and

{\displaystyle \mu =GM\,} (standard gravitational parameter),

where:

  • {\displaystyle v\,} is orbital velocity from velocity vector of an orbiting object,
  • {\displaystyle \mathbf {r} \,} is cartesian position vector of an orbiting object in coordinates of a reference frame with respect to which the elements of the orbit are to be calculated (e.g. geocentrică ecuatorială pentru o orbită în jurul Pământului, sau heliocentrică ecliptică pentru o orbită în jurul Soarelui),
  • {\displaystyle G\,} este constanta gravitațională,
  • {\displaystyle M\,} masa corpului central.

Rețineți că, pentru un corp central și o energie specifică totală date, axa semi-majoră este întotdeauna aceeași, indiferent de excentricitate. Invers, pentru un corp central și o axă semigrea dată, energia specifică totală este întotdeauna aceeași.

Exemplu

Stația Spațială Internațională are o perioadă orbitală de 91,74 minute, prin urmare axa semigrea este de 6738 km . Fiecare minut în plus corespunde la cca. 50 km în plus: cei 300 km în plus de lungime a orbitei durează 40 de secunde, iar viteza mai mică reprezintă 20 de secunde în plus.

.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *