Was ist Wärmeübertragung?

Im Allgemeinen beschreibt die Wärmeübertragung den Fluss von Wärme (thermische Energie) aufgrund von Temperaturunterschieden und die daraus resultierende Temperaturverteilung und -änderung.

Die Untersuchung von Transportphänomenen betrifft den Austausch von Impuls, Energie und Masse in Form von Leitung, Konvektion und Strahlung. Diese Vorgänge lassen sich durch mathematische Formeln beschreiben.

Die Grundlagen für diese Formeln finden sich in den Impulserhaltungs-, Energie- und Massenerhaltungsgesetzen in Verbindung mit Stoffgesetzen, die nicht nur die Erhaltung, sondern auch den Fluss der an diesen Phänomenen beteiligten Größen beschreiben. Zu diesem Zweck werden Differentialgleichungen verwendet, um die genannten Gesetze und konstitutiven Beziehungen bestmöglich zu beschreiben. Die Lösung dieser Gleichungen ist ein effektiver Weg, um Systeme zu untersuchen und ihr Verhalten vorherzusagen.

Geschichte und Terminologie

Ohne äußere Hilfe fließt Wärme immer von heißen zu kalten Objekten, was eine direkte Folge des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik ist.

Wir nennen das Wärmestrom. Jahrhunderts glaubten die Wissenschaftler, dass alle Körper eine unsichtbare Flüssigkeit namens Kalorik enthalten (eine masselose Flüssigkeit, von der man annahm, dass sie von heißen zu kalten Objekten fließt). Der Kalorik wurden Eigenschaften zugeschrieben, von denen sich einige als unvereinbar mit der Natur erwiesen (z. B. hatte sie Gewicht und konnte weder geschaffen noch zerstört werden). Seine wichtigste Eigenschaft war jedoch, dass es von heißen Körpern in kalte fließen konnte. Das war eine sehr nützliche Art, über Wärme nachzudenken.

Thompson und Joule zeigten, dass diese Theorie der Wärme falsch war. Wärme ist keine Substanz wie angenommen, sondern eine Bewegung auf molekularer Ebene (sogenannte kinetische Theorie). Ein gutes Beispiel ist das Reiben unserer Hände aneinander. Beide Hände werden wärmer, obwohl sie anfangs die gleiche, kühlere Temperatur hatten. Wäre die Ursache der Wärme nun eine Flüssigkeit, dann wäre sie von einem (heißeren) Körper mit mehr Energie zu einem anderen mit weniger Energie (kälter) geflossen. Stattdessen werden die Hände erwärmt, weil die kinetische Energie der Bewegung (Reibung) in Wärme umgewandelt wurde, und zwar durch einen Prozess, der „Reibung“ genannt wird.

Der Wärmefluss findet ständig statt, und zwar von jeder physischen Einheit zu den sie umgebenden Objekten. Wärme fließt ständig von Ihrem Körper zur Luft, die Sie umgibt. Eine kleine auftriebsbedingte (oder konvektive) Bewegung der Luft setzt sich in einem Raum fort, weil die Wände niemals vollkommen isotherm sein können, wie es in der Theorie der Fall ist. Der einzige Bereich, in dem kein Wärmefluss stattfindet, müsste isotherm und vollständig von allen anderen Systemen isoliert sein, die eine Wärmeübertragung zulassen. Ein solches System ist praktisch unmöglich zu schaffen.

Die Abkühlung durch die Sonne ist ein primärer Prozess, den wir in der Natur erleben. Andere Prozesse sind die konduktive Abkühlung des Erdmittelpunkts und die Strahlungskühlung anderer Sterne\(^1\).

Phänomenologie

Wärmeübertragung ist die Übertragung von Wärmeenergie aufgrund eines Temperaturgradienten.

Wärmeübertragungsmethoden

Leitung

Fouriersches Gesetz: Joseph Fourier (siehe Abbildung 3) veröffentlichte sein Buch „Théorie Analytique de la Chaleur“ im Jahr 1822.

In diesem Buch formuliert er eine vollständige Theorie der Wärmeleitung. Er stellte das empirische Gesetz, das Fouriersche Gesetz, auf, das besagt, dass der aus der Wärmeleitung resultierende Wärmestrom (\(q\)) direkt proportional zur Größe des Temperaturgradienten ist. Wenn wir die Proportionalitätskonstante \(k\) nennen, bedeutet das

$$q = -k \frac{dT}{dx} \tag{1}$$

Die Konstante, \(k\), heißt Wärmeleitfähigkeit mit den Dimensionen \(\frac{W}{m*K}\), bzw. \(\frac{J}{m*s*K}\).

Bitte beachten Sie, dass der Wärmestrom eine Vektorgröße ist! Gleichung (1) sagt uns, dass, wenn die Temperatur mit \(x\) abnimmt, \(q\) positiv ist, d.h. in positiver \(x\)-Richtung fließt. Wenn \(T\) mit \(x\) zunimmt, wird \(q\) negativ sein, d. h. es fließt in negativer \(x\)-Richtung. In beiden Fällen fließt \(q\), wie bereits erwähnt, von höheren Temperaturen zu niedrigeren Temperaturen. Gleichung (1) ist die eindimensionale Formulierung des Fourierschen Gesetzes. Die dreidimensionale äquivalente Form ist:

$$$$overrightarrow{q} = -k \nabla T$$

wobei \(\nabla\) den Gradienten angibt.

Bei eindimensionalen Wärmeleitungsproblemen gibt es kein Problem, die Richtung des Wärmeflusses zu bestimmen. Aus diesem Grund ist es oft bequem, das Fouriersche Gesetz in einfacher skalarer Form zu schreiben:

$$q = k \frac{\Delta T}{L} \tag{2}$$

wobei \(L\) die Dicke in Richtung des Wärmestroms ist und \(q\) und \(\Delta T\) beide als positive Größen geschrieben werden. Wir müssen uns nur vor Augen halten, dass \(q\) immer von hoher zu niedriger Temperatur fließt.

Die Wärmeleitfähigkeit von Gasen lässt sich mit der Vorstellung von Molekülen verstehen. Diese Moleküle bewegen sich durch thermische Bewegung von einer Position zur anderen, wie in der folgenden Abbildung zu sehen ist:

Die innere Energie der Moleküle wird durch Stöße mit anderen Molekülen übertragen. Bereiche mit niedrigen Temperaturen werden von Molekülen mit hohen Temperaturen eingenommen und andersherum. Die Wärmeleitfähigkeit kann mit dieser Vorstellung erklärt und mit der kinetischen Theorie der Gase hergeleitet werden:

$$T = \frac{2}{3} \frac{K}{N k_B}$$

Diese besagt, dass „die mittlere kinetische Energie der Moleküle für ein ideales Gas direkt proportional zur absoluten Temperatur ist“\(^6\). Die Wärmeleitfähigkeit ist unabhängig vom Druck und steigt mit der Wurzel aus der Temperatur.

Diese Theorie ist für andere Objekte als Metalle ziemlich schwer zu verstehen. Und für Flüssigkeiten ist sie noch schwieriger, weil es keine einfache Theorie gibt. In nonmetallic components, heat transfers via lattice vibrations (Phonon). The thermal conductivity transferred by phonons also exists in metals but is surpassed by the conductivity of electrons.

The low thermal conductivity of insulating materials like polystyrene or glass wool is based on the principle of low thermal conductivity of air (or any other gas). The following table lists some of the commonly used elements/materials and their thermal conductivities:

Material	Thermal conductivity \(W/(m.K)\)
Oxygen	0.023
Steam	0.0248
Polystyrene	0.032-0.050
Water	0.5562
Glass	0.76
Concrete	2.1
Steel high-alloyed	15
Steel unalloyed	48-58
Iron	80.2
Copper pure	401
Diamond	2300

Analogous definitions

Heat Transfer: Heat flux density \(\propto\) grad T (Thermal conductivity)

Diffusion: Partial current density \(\propto\) grad x (Diffusion coefficient)

Electric lead: Current density \(\propto\) grad \(U_{el}\) (Electric conductivity)

Radiation

Radiation describes the phenomenon of transmission of energy from one body to another by propagation irrespective of a medium. All bodies constantly emit energy by electromagnetic radiation. The intensity of such energy flux depends not only on the temperature of the body but also on the surface characteristics. If you sit in front of a campfire, most of the heat that reaches you is radiant energy. Sehr oft kann die Abgabe von Energie oder die Strahlungswärmeübertragung von kühleren Körpern im Vergleich zu Konvektion und Leitung vernachlässigt werden. Bei Wärmeübertragungsvorgängen, die bei hohen Temperaturen stattfinden oder bei denen Konduktion oder Konvektion durch eine evakuierte Isolierung unterdrückt werden, ist ein erheblicher Anteil der Strahlung beteiligt.

Das elektromagnetische (EM) Spektrum: Dieses Spektrum ist der Bereich aller Arten von elektromagnetischer Strahlung. Einfach ausgedrückt, ist Strahlung Energie, die sich ausbreitet, wie Photonen, die von einer Lampe ausgestrahlt werden, oder Radiowellen. Andere bekannte Arten von elektromagnetischer Strahlung sind Röntgenstrahlen, Gammastrahlen, Mikrowellen, Infrarotlicht usw.

Elektromagnetische Strahlung kann als ein Strom von Photonen gesehen werden, die sich wellenförmig mit Lichtgeschwindigkeit bewegen und Energie transportieren. Die verschiedenen elektromagnetischen Strahlungen werden nach der Energie der Photonen eingeteilt. It is important to keep in mind that if we talk about the energy of a photon, the behavior can either be that of a wave or of a particle called the „wave-particle duality“ of light.

Each quantum of radiant energy has a wavelength, \(\lambda\) and a frequency, \(\nu\), associated with it. The relation between energy, wavelength, \(\lambda\) and frequency, \(\nu\), can be written as wavelength equals the speed of light divided by the frequency, or

$$\lambda = \frac{c}{\nu}$$

and energy equals Planck’s constant times the frequency, or

$$E = h*\nu$$

where \(h\) is Planck’s constant \((6,626 070 040 * 10^{-34} Js )\).

The table below shows various forms over a range of wavelengths. Thermal radiation is from 0.1-1000 \(\mu m\).

Characterization	Wavelength
Gamma rays	0.3 100 \(pm\)
X-rays	0.01-30 \(nm\)
Ultraviolet light	3-400 \(nm\)
Visible light	0.4-0.7 \(\mu m\)
Near infrared radiation	0.7-30 \(\mu m\)
Far infrared radiation	30-1000 \(\mu m\)
Microwaves	10-300 \(mm\)
Shortwave radio TV	300 \(mm\)-100 \(m\)

A body that can emit radiation \((\dot{Q_E})\) can also reflect \((\dot{Q_R})\), transmit \((\dot{Q_T})\), and absorb \((\dot{Q_A})\) the falling radiation.

$$\dot{Q} = \dot{Q_A} + \dot{Q_T} +\dot{Q_R}$$

$$1 = \frac{\dot{Q_A}}{\dot{Q}} + \frac{\dot{Q_T}}{\dot{Q}} +\frac{\dot{Q_R}}{\dot{Q}}$$

$$1 = \alpha^S + \tau^S + \rho^S$$

where

$$\alpha^S : \text{Absorptance}$$

$$\tau^S : \text{Transmittance}$$

$$\rho^S : \text{Reflectance}$$

Different materials are commonly classified according their radiation characteristics as:

Black Body: \(\quad\) \(\alpha^S = 1\) \(\quad\) \(\rho^S = 0\) \(\quad\) \(\tau^S = 0\)

Gray Body: \(\quad\) \(\alpha^S, \rho^S\) and \(\tau^S\) uniform for all wavelengths.

White Body: \(\quad\) \(\alpha^S = 0\) \(\quad\) \(\rho^S = 1\) \(\quad\) \(\tau^S = 0\)

Opaque Body: \(\quad\) \(\alpha^S + \rho^S = 1\) \(\quad\) \(\tau^S = 0\)

Transparent Body: \(\quad\) \(\alpha^S = 0\) \(\quad\) \(\rho^S = 0\) \(\tau^S = 1\)

Schwarzer Körper:

„Schwarzer Körper“ bezeichnet ein Objekt oder System im thermodynamischen Gleichgewicht, das alle einfallende Strahlung absorbiert und Energie eines charakteristischen, temperaturabhängigen Spektrums aussendet. Dieses Verhalten ist nur für dieses strahlende System spezifisch und hängt nicht von der Art der auftreffenden Strahlung ab.

Stefan-Boltzmann-Gesetz: Die von einem Schwarzkörperstrahler pro Sekunde und Flächeneinheit abgestrahlte Wärmeenergie ist proportional zur vierten Potenz der absoluten Temperatur und ist gegeben durch:

$$$frac{P}{A} = \sigma T^4$$

wobei \(\sigma\) die Stefan-Boltzmann-Konstante ist, die sich aus anderen Naturkonstanten ableiten lässt:

$$$sigma = \frac{2\pi ^5 k^4}{15c^2 h^3} = 5.670373 * 10^{-8} \quad Wm^{-2}K^{-4}$$

Für heiße Objekte, die keine idealen Strahler sind, wird das Gesetz in der Form ausgedrückt:

$$$frac{P}{A} =e \sigma T^4$$

wobei \(e\) der Emissionsgrad des Objekts ist (\(e\) = 1 für ideale Strahler). Wenn das heiße Objekt Energie an seine kältere Umgebung mit der Temperatur \(T_c\) abstrahlt, hat die Nettorate die Form:

$$P = e\sigma A(T^4 – T^4_c)$$

Durch die vierte Potenz der Temperaturen in der Bestimmungsgleichung wird die Strahlung zu einem sehr komplexen, hochgradig nichtlinearen Phänomen\(^2\).

Konvektion

Betrachten Sie eine konvektive Abkühlungssituation. Kaltes Gas strömt an einem warmen Körper vorbei, wie in der folgenden Abbildung dargestellt:

Das Fluid bildet einen dünnen, verlangsamten Bereich, der als Grenzschicht bezeichnet wird und unmittelbar an den Körper angrenzt. Die Wärme wird in diese Schicht geleitet, die dann verschwindet und sich mit der Strömung vermischt. Diesen Vorgang der Wärmeabfuhr durch ein sich bewegendes Fluid nennt man Konvektion.

Isaac Newton (1701) betrachtete den konvektiven Prozess und schlug eine einfache Formel für die Abkühlung vor:

$$$\frac{dT_{body}}{dt} \propto T_{body} – T_\infty$$

wobei \(T_\infty\) die Temperatur der ankommenden Flüssigkeit ist. Dieser Ausdruck besagt, dass die Energie vom Körper wegfließt (^1\).

Die stationäre Form des Newtonschen Abkühlungsgesetzes, das die freie Konvektion definiert, wird durch die folgende Formel beschrieben:

$$Q = h(T_{Körper} – T_\infty)$$

wobei \(h\) der Wärmeübergangskoeffizient ist. Dieser Koeffizient kann mit einem Balken \(\overline{h}\) angegeben werden, der den Durchschnitt über die Oberfläche des Körpers angibt. \(h\) ohne Balken bezeichnet die „lokalen“ Werte des Koeffizienten.

Abhängig davon, wie die Fluidbewegung ausgelöst wird, kann man die Konvektion als natürliche (freie) oder erzwungene Konvektion klassifizieren. Natürliche Konvektion wird z.B. durch Auftriebseffekte verursacht (warmes Fluid steigt auf und kaltes Fluid sinkt aufgrund des Dichteunterschieds). Bei der erzwungenen Konvektion hingegen wird die Flüssigkeit durch äußere Einflüsse wie Lüfter, Wind, Kühlmittel, Pumpen, Saugvorrichtungen usw. in Bewegung gesetzt.

Die Bewegung eines festen Bestandteils in eine Flüssigkeit kann ebenfalls als erzwungene Konvektion betrachtet werden. Natürliche Konvektion kann einen spürbaren Temperaturunterschied in einem Haus oder einer Wohnung erzeugen. Wir erkennen dies daran, dass bestimmte Teile des Hauses wärmer sind als andere. Erzwungene Konvektion sorgt für eine gleichmäßigere Temperaturverteilung und damit für ein angenehmes Gefühl in der gesamten Wohnung. Dadurch werden kalte Stellen im Haus reduziert und die Notwendigkeit verringert, den Thermostat auf eine höhere Temperatur zu stellen\(^3\).

Wärmeübertragungssimulation – Strukturelle Wärmeübertragung

Structural Heat Transfer Software wird verwendet, wenn:

• Die Fluidtemperatur kann als homogen um das feste Bauteil angenommen werden
• Untersuchung des Verhaltens von Bauteilen nur bei Erwärmung
• Untersuchung von Spannungen und Verformungen des Bauteils aufgrund von Wärmebelastung (thermische Spannungsanalyse)

Gekoppelte Wärmeübertragungsanalyse (Fluid-Solid) wird verwendet, wenn:

• The fluid distribution around the solid needs to be studied
• Investigating the influence of the object on the fluid
• Investigating natural cooling

Heat Transfer Analysis — Linear Static Analysis

Follow a quick comparison between the two analysis in the table below:

Category	Structural Analysis (linear static)	Heat Transfer Analysis (steady state)
Material properties	Young’s modulus(E)	Thermal conductivity(k)
Laws	Hook’s law \(\sigma=E\cdot\frac{du}{dx}\)	Fourier law \(q=-k\cdot\frac{dT}{dx}\)
Degree of Freedom (DOF)	Displacement (u)	Temperature (T)
Gradient of DOF	Dehnung \(\epsilon\) Spannung \(\sigma\)	Temperaturgradient \((\nabla T)\)
Ähnlichkeiten	Axialkraft pro Längeneinheit: Q Querschnittsfläche: A Elastizitätsmodul: E	Interne Wärmeentwicklung pro Längeneinheit: Q Querschnittsfläche: A Wärmeleitfähigkeit: k

Anwendungen der thermischen Simulation

Wärmeübertragung – Strukturanalyse

Die Wärmeübertragung berücksichtigt die Energiebilanz der untersuchten Systeme. Bei der Untersuchung thermomechanischer Komponenten können auch strukturelle Verformungen, die durch die Einwirkung thermischer Lasten auf Festkörper entstehen, einbezogen werden. Die Simulation des Spannungsverhaltens bei thermischer Belastung und Versagen ist für viele industrielle Anwendungen unerlässlich. Ein Beispiel für eine Anwendung ist die thermische Spannungsanalyse einer Leiterplatte.

Konjugierte Wärmeübertragung

Konjugierte Wärmeübertragungssimulationen (CHT) analysieren die gekoppelte Wärmeübertragung in Flüssigkeiten und Festkörpern. Ein wichtiges Merkmal von CHT-Simulationen ist die Vorhersage der Fluidströmung bei gleichzeitiger Analyse des Wärmeübergangs, der innerhalb der Fluid/Festkörper-Grenze stattfindet. Einer der Bereiche, in denen sie eingesetzt werden kann, ist die Kühlung von Elektronik (siehe Abbildung 1).

Leitung

In der Theorie geht Wärme von einem heißen zu einem kalten Objekt über. Konduktion ist die Wärmeübertragung von einem heißen zu einem kalten Gegenstand, die in direktem Kontakt zueinander stehen. Die Wärmeleitfähigkeit der verschiedenen Objekte entscheidet darüber, wie viel Wärme in einer bestimmten Zeit übertragen wird. Beispiele sind CFL-Glühbirnen.

Konvektion

Konvektive Wärmeübertragung ist die Übertragung von Wärme zwischen zwei Bereichen ohne physischen Kontakt. Konvektive Ströme treten auf, wenn Moleküle Wärme absorbieren und in Bewegung geraten. Wie Sie sich vorstellen können, sind diese Effekte schwer vorherzusagen, weshalb eine hohe Rechenleistung erforderlich ist, um zuverlässige Ergebnisse aus einer Simulation zu erhalten. Eine solche Anwendung ist die Kühlung eines Raspberry Pi Motherboards.

Strahlung

Elektromagnetische Wellen sind die Quelle der Wärmeübertragung durch Strahlung. Sie spielen vor allem bei hohen Temperaturen eine Rolle. Die Wärmemenge, die durch Strahlung abgegeben wird, hängt von der Oberflächenbeschaffenheit des Materials ab. Generell gilt: Je größer die Oberfläche, desto höher ist die Strahlung. Eine Anwendung, bei der die Simulation von Strahlung zum Einsatz kommt, ist das Laserstrahlschweißen.

Thermal Analysis SimScale

Viele Materialien und Produkte haben temperaturabhängige Eigenschaften, die die Wärmeanalyse und das Wärmemanagement zu einem entscheidenden Prozess in der Produktentwicklung machen. Das Wärmeübertragungsmodul der Online-Simulationsplattform von SimScale ermöglicht die Vorhersage von Luftströmung, Temperaturverteilung und Wärmeübertragung. Dies beinhaltet Konvektion, Leitung und Strahlung, um die Leistung, Ausdauer und Energieeffizienz Ihrer Designs zu gewährleisten.

Letzte Aktualisierung: March 8th, 2021