Wie lange würde es dauern, mit dem Fahrrad zum Mond zu fahren?

Vor fünfzig Jahren, am 20. Juli 1969, betrat Neil Armstrong als erster Mensch die Oberfläche des Mondes. Ich finde das immer noch erstaunlich – sowohl die Mondlandung als auch die Tatsache, dass es ein halbes Jahrhundert her ist. Zu Ehren dieser historischen Errungenschaft und in Anbetracht der Tatsache, dass wir bei den Plänen für eine Rückkehr zum Mond auch unseren CO2-Fußabdruck im Auge behalten, dachte ich mir, ich schätze mal, wie lange es dauern könnte, mit dem Fahrrad dorthin zu gelangen.

Was? Wie Präsident John F. Kennedy sagte, tun wir solche Dinge nicht, weil sie leicht sind, sondern weil sie schwer sind. Und sie werfen einige großartige physikalische Fragen auf! Ich führe Sie durch die Grundlagen, und dann gebe ich Ihnen ein paar Fragen für die Hausaufgaben mit.

Lassen Sie uns also erst einmal ein paar Implementierungsprobleme aus dem Weg schaffen. Wir müssten natürlich ein Kabel zwischen der Erde und dem Mond verlegen. Und du, wenn du dich für diese Mission entscheidest, hättest ein schickes weißes NASA-Fahrrad mit besonders griffigen Rädern, mit dem du das Kabel entlangfahren könntest. (Wir gehen davon aus, dass keine Energie durch Reibung verloren geht.) Oh, und die Räder rollen nur in eine Richtung, so dass Sie nicht abstürzen, wenn Sie eine Pause einlegen.

Nur um das klarzustellen, hätte dieser Plan für das Apollo-Programm zeitlich nicht gepasst. Kennedy hatte geschworen, noch vor Ende des Jahrzehnts einen Menschen auf den Mond zu bringen, und die NASA hat es nur knapp geschafft. Glücklicherweise brauchte das Raumschiff Apollo 11 nur vier Tage, um dorthin zu gelangen. Die Reise mit dem Fahrrad hätte diese Frist gesprengt. Aber wie groß wäre die Verspätung genau gewesen?

Abheben

Zunächst brauchen wir einige Fakten, mit denen wir arbeiten können. Erstens: Wie weit ist der Mond entfernt? Da die Umlaufbahn des Mondes um die Erde nicht vollkommen kreisförmig ist, gibt es keine eindeutige Antwort. Aber gehen wir von einer durchschnittlichen Entfernung von 240.000 Meilen (386.000 km) aus – das ist die Zahl, an die ich denke, wenn mein Auto alt wird. Wenn der Kilometerzähler 240.000 anzeigt, weiß ich, dass ich weit genug gefahren bin, um den Mond zu erreichen.

Nun denken Sie vielleicht: OK, ein Mensch kann 15 Meilen pro Stunde in die Pedale treten; das kann ich verwenden, um die Dauer der Reise zu berechnen. Nö. Auf einer flachen Straße kann man vielleicht 15 Meilen pro Stunde fahren, aber in diesem Fall würde man bergauf fahren, und zwar geradeaus. Erschwerend kommt hinzu, dass die Anziehungskraft der Schwerkraft mit zunehmender Entfernung von der Erde immer geringer wird. Jeden Tag würden Sie bei gleicher Anstrengung ein Stück weiter kommen. Irgendwann ist man dem Mond so nahe, dass es nur noch bergab geht und man sich einfach treiben lassen kann.

Anstatt also die Geschwindigkeit zu schätzen, die variieren würde, werde ich die Leistung eines Menschen schätzen. Wenn Sie ein Tour-de-France-Radfahrer sind, können Sie vielleicht sechs Stunden am Tag 200 Watt leisten. (Schauen Sie sich Ben Kings Fahrt auf der 4. Etappe auf Strava an.) Lassen Sie uns diesen Wert für den Moment verwenden; Sie können ihn später ändern, wenn Sie kein Tour-de-France-Radfahrer sind.

Als Nächstes wollen wir herausfinden, wie lange es dauern würde, nur eine kurze Strecke Δy auf Ihrem speziellen Mondkabel-Fahrrad zu fahren. Nehmen wir an, das Gravitationsfeld hat eine Stärke g (in Newton pro Kilogramm). Die Änderung der potenziellen Gravitationsenergie (UG) für diesen kurzen Aufstieg wäre dann:

In diesem Ausdruck ist m die Masse des Menschen (in Kilogramm). Da die Leistung (P) die Änderung der Energie geteilt durch die Änderung der Zeit ist, kann ich meine Leistungsschätzung verwenden, um die Zeit (Δt) zu finden, die ich brauche, um mich ein wenig zu bewegen:

Warum verwende ich eine kurze Strecke? Das wird bald klar sein. Lassen Sie uns zunächst eine kurze Überprüfung durchführen: Nehmen wir an, der Mensch hat eine Masse von 75 kg (165 Pfund) und eine Leistungsabgabe von 200 Watt. Wie lange würde er brauchen, um 1 Meter hochzukommen? Mit diesen Zahlen erhalte ich eine Zeit von 3,675 Sekunden.

Scheint das zu lang? Nun, ja und nein. Ja, es stimmt, dass man auf einer Treppe 1 Meter Höhe in etwa 1 Sekunde überwinden könnte. Aber dabei würden Sie weit mehr als 200 Watt Leistung verbrauchen. Stell dir vor, du müsstest dieses Tempo SECHS STUNDEN lang durchhalten. Ja, dieser Ausdruck sieht gut aus.

Der Umgang mit der wechselnden Schwerkraft

Können wir das nicht einfach für die gesamte Reise zum Mond machen? Leider nicht. Das Problem ist der Faktor g. Es mag sich so anfühlen, als würde sich die Schwerkraft nicht ändern, wenn man eine Treppe hinaufsteigt, aber das liegt nur daran, dass man sich verausgabt hat, bevor man wirklich irgendwo angekommen ist. Das Gravitationsfeld wird mit zunehmender Entfernung vom Erdmittelpunkt schwächer. Wir können den (Vektor-)Wert des Gravitationsfeldes mit der folgenden Gleichung ermitteln:

Wenn Sie in diesem Diagramm der graue Punkt im Weltraum sind, können wir die Gravitationskraft an diesem Punkt mit der Gleichung auf der rechten Seite berechnen. G ist eine universelle Gravitationskonstante, ME ist die Masse der Erde, und r ist ein Vektor vom Erdmittelpunkt zu dir.

Aber halt! Nicht nur die Erde hat Schwerkraft. Der Mond hat auch eine, also muss ich einen weiteren Term in meine Gleichung einfügen. Nehmen wir an, der Mond hat eine Masse von mm, und die Entfernung von der Erde zum Mond ist R. Jetzt kann ich das gesamte Gravitationsfeld berechnen:

Ich schummele ein wenig, indem ich die Komponente von g, die auf die Erde zurückzuführen ist, positiv mache, aber auf diese Weise stimmt sie mit dem Wert auf der Erdoberfläche aus meiner vorherigen Berechnung überein. Hier ist ein Diagramm der Größe dieses Gravitationsfeldes, das von der Erde zum Mond verläuft. (Hier ist der Code.)

Ausgehend von der Erde beträgt das Gravitationsfeld 9.8 N/kg (das ist gut). Auf der Oberfläche des Mondes ist das Gravitationsfeld in die entgegengesetzte Richtung mit einer Stärke von 1,6 N/kg. Auch das ist gut: Die Stärke des Gravitationsfeldes auf dem Mond beträgt etwa ein Sechstel der Stärke auf der Erde.

Aber sehen Sie: Für den größten Teil der Reise sind die Auswirkungen der Schwerkraft nicht gleich Null, aber sie sind ziemlich gering. Der Start wäre mühsam, aber wenn man erst einmal bei etwa 10.000 Meilen angelangt ist, beträgt die Anziehungskraft der Erde nur noch 10 Prozent der Erdanziehungskraft. Das mag weit erscheinen, aber bedenken Sie, dass es bis zum Mond 240.000 Meilen sind. Und danach kann man richtig Fahrt aufnehmen. Ganz am Ende ist es ein leichter Abstieg zur Mondoberfläche. Vielleicht ein bisschen zu leicht – dazu gleich mehr.

Ihre geschätzte Ankunftszeit

Nun, da ich einen Ausdruck für das Gravitationsfeld habe, kann ich meine Berechnung für die Reisezeit auf der Grundlage der menschlichen Leistung wiederholen – dieses Mal berechne ich g für jeden kleinen Schritt auf dem Weg neu. Das ist das Ergebnis für die zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit von der Zeit. Es ist nicht die gesamte Strecke, sondern nur bis zu dem Punkt, an dem die Fahrt auf „bergab“ umschaltet. (Hier ist der Code.)

Ich bin wirklich überrascht: Es würde nur 267 Tage dauern. Das ist weniger als ich dachte! Bei einer Entfernung von 240.000 Meilen ergibt das eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 37 Meilen pro Stunde. Das sind natürlich 267 Tage, an denen man rund um die Uhr in die Pedale tritt, und das bei einem beachtlichen Anstrengungsgrad. Wenn man stattdessen sechs Stunden am Tag in die Pedale treten würde, würde es viermal so lange dauern – das sind also fast drei Jahre, und es ist noch nicht einmal der ganze Weg zum Mond.

Was ist mit dem Rest der Reise? Eine Möglichkeit wäre, einfach nicht mehr in die Pedale zu treten. Man würde meist mit der gleichen Geschwindigkeit weiterfahren, bis man dem Mond viel näher ist – aber das ist immer noch ziemlich schnell. Sobald Sie die Oberfläche des Mondes erreicht haben, würden Sie sozusagen abstürzen. Aber wie schnell würde das sein? Hier ist ein Diagramm der Fahrradgeschwindigkeit als Funktion der Zeit:

Ja. Das ist ein schnelles Mondfahrrad – super schnell. Irgendwann um Tag 258 herum würdest du 100 Meter pro Sekunde (etwa 220 mph) erreichen. Etwa eine Woche später wäre man mit bis zu 1.000 m/s (2.200 mph) richtig schnell.

Wenn das Gravitationsfeld wirklich klein wird, geht die gesamte Energie des Radfahrers nur noch in die Erhöhung der Geschwindigkeit. Aber in Wirklichkeit gibt es einen Fehler in meinem Modell, der es (wahrscheinlich) noch schneller machen würde. Meine Berechnungen gehen davon aus, dass die gesamte Energie des Menschen in potenzielle Gravitationsenergie umgewandelt wird, um die Entfernung zu vergrößern. Aber wenn das Gravitationsfeld niedrig ist, braucht man wirklich nicht viel Zeit, um sich „nach oben“ zu bewegen – also ist man am Ende superschnell. Dieses Modell berücksichtigt nicht direkt die Änderungen der kinetischen Energie und geht davon aus, dass der Fahrer zu Beginn eines jeden Schritts mit einer Geschwindigkeit von Null startet. Aber ich denke, die Gesamtzeitberechnung ist trotzdem legitim.

Es ist wohl gut, dass die NASA-Astronauten eine Rakete statt eines Fahrrads benutzt haben. Nun zu den Hausaufgaben.

Hausaufgaben

• Wo ist der Punkt, an dem das gesamte Gravitationsfeld den Wert Null hat? Das sollte nicht allzu schwierig sein.
• In meiner Berechnung habe ich eine Fahrermasse von 75 kg verwendet. Das ist wahnsinnig wenig, da es die Masse des Fahrrads nicht berücksichtigt. Was passiert, wenn man die Gesamtmasse des Fahrers auf 100 kg oder vielleicht sogar 200 kg erhöht? Wie verändert sich die Fahrzeit?
• So lange kann man nicht fahren, ohne zu essen. Wie viele Sandwiches müsste man bei einer Fahrermasse von 100 kg verzehren, um zum Mond zu gelangen?
• Da man nicht einfach an einem Denny’s am Straßenrand anhalten kann, um zu essen, muss man die Sandwiches mitnehmen. Um wie viel erhöht sich dadurch die Gesamtmasse?
• Warum gibt es ein Kabel von der Erde zum Mond? Schätze die Menge an Stahl, die benötigt wird, um so ein Kabel herzustellen.
• Das Erde-Mond-System ist nicht stationär. Stattdessen rotiert es. Wie würde diese Rotation die Zeit verändern, die man braucht, um mit dem Fahrrad zum Mond zu gelangen?
• Erstelle einen Plan für die Landung auf dem Mond. Wie schnell würdest du reisen? Wann würdest du abbremsen? Wie viel Energie müsste (in irgendeiner Form) abgeleitet werden?

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