Die Wurzel-Summen-Quadrat-Methode (RSS) ist eine statistische Toleranzanalysemethode.
In vielen Fällen liegen die tatsächlichen Einzelteilabmessungen in der Nähe der Mitte des Toleranzbereichs und nur sehr wenige Teile mit tatsächlichen Abmessungen in der Nähe der Toleranzgrenzen. Dies setzt natürlich voraus, dass die Teile meist mittig und innerhalb des Toleranzbereichs liegen.
RSS geht davon aus, dass die Normalverteilung die Schwankung der Maße beschreibt. Die glockenförmige Kurve ist symmetrisch und wird durch zwei Parameter, den Mittelwert μ und die Standardabweichung σ, vollständig beschrieben.
Die Varianzen, nicht die Standardabweichungen, sind additiv und liefern eine Schätzung der kombinierten Teilevariation. Das Ergebnis der Addition der Mittelwerte und der Bildung der Wurzelsumme der Standardabweichungen liefert einen Schätzwert für die Normalverteilung des Toleranzstapels. Die Formel für die Kombination der Standardabweichungen des Stapels lautet
$$ \large\displaystyle {{\sigma }_{sys}}=\sqrt{\sum\nolimits_{i=1}^{n}{\sigma _{i}^{2}}$$
Wobei σi die Standardabweichung des i-ten Teils ist,
Und, n ist die Anzahl der Teile im Stapel,
Und, σsys ist die Standardabweichung des Stapels.
Die Normalverteilung hat die Eigenschaft, dass etwa 68,2 % der Werte innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert liegen. Ebenso liegen 95,4 % innerhalb von 2 Standardabweichungen und 99,7 % innerhalb von 3 Standardabweichungen.
Einfaches Beispiel
Bei dem gleichen Beispiel wie bei der Worst-Case-Methode haben wir fünf Platten, die jeweils unterschiedliche Abmessungen haben. Für eine beliebige Gruppe von fünf Platten kennen wir die fünf einzelnen Abmessungen nicht, aber wir können mit Hilfe der Statistik schätzen, wie diese Abmessungen sein werden.
Im Durchschnitt sind die Platten 25 mm dick. Unter der Annahme, dass jedes Teil leicht vom Durchschnittswert abweicht und die Normalverteilung die Abweichung beschreibt, müssen wir die Standardabweichung der Teiledicke schätzen.
Für dieses Beispiel messen wir 30 Platten und berechnen die Standardabweichung. Wenn wir feststellen, dass die Standardabweichung 0,33 mm beträgt, wissen wir, dass die meisten Teile Abmessungen innerhalb der Toleranz von 0,99 mm haben werden, wenn die Teile einer Normalverteilung folgen (mehr dazu, wie man diese Annahme später überprüfen kann).
Bei einem Stapel von fünf Blöcken beträgt die durchschnittliche Dicke das Fünffache der mittleren Dicke oder 125 mm.
Wir erwarten, dass bei etwa 99,7 % der Stapel von fünf Blöcken die kombinierte Dicke innerhalb des Bereichs von plus/minus 3 Standardabweichungen der kombinierten Platten liegt. Um sie zu kombinieren, verwenden wir die Formel, um die Varianzen zu addieren und mit einer Quadratwurzel in eine Standardabweichung umzuwandeln.
In diesem Fall addieren wir die fünf Varianzen, 0.332, und nehmen die Quadratwurzel aus dieser Summe.
$$ \large\displaystyle {{\sigma }_{sys}}=\sqrt{\sum\nolimits_{i=1}^{5}{0.33_{i}^{2}}}=0.7379$$
Und da etwa 99.7% der Werte innerhalb von +/- 3σ liegen, sollte der Bereich der kombinierten Dickenwerte für den Stapel von fünf Platten innerhalb von 125mm +/- (3 x 0,7379mm oder 2,2137mm) liegen oder die meisten fallen zwischen 122,79mm und 127,21mm.
Um die Anzahl der Baugruppen außerhalb der gewünschten Toleranz zu schätzen, können wir die Werte der Systemnormalverteilung verwenden, in diesem Fall ist der Mittelwert μ 125 und die Standardabweichung σ 0,7379. Verwenden Sie in Excell die Funktion NORMDIST. Im Allgemeinen konstruieren Sie die Zelle wie folgt:
=1-(NORMDIST(Mittelwert+Toleranz, Mittelwert, σsys)-0.5)*2
Wobei der Mittelwert der kombinierte Mittelwert der am Stapel beteiligten Teile ist. In diesem Beispiel beträgt der Mittelwert des Systems 125 mm.
Die Toleranz ist der gewünschte Wert, in diesem Beispiel nehmen wir an, dass der gesamte Stapel innerhalb von 2 mm vom Mittelwert liegen soll, also eine Toleranz von 2.
Die σsys ist die Standardabweichung der kombinierten Teile, die mit Hilfe der Wurzelsumme der quadrierten Standardabweichungen der beteiligten Teile ermittelt wurde.
Wir ziehen 0.5 ab, um die einseitige Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass das Ergebnis unter dem Maximalwert (Mittelwert plus Toleranz) liegt, und multiplizieren die resultierende Wahrscheinlichkeit mit 2, um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass die endgültige Baugruppe entweder über oder unter der gewünschten Toleranz liegt.
In diesem Beispiel würden wir bei einer Toleranz von 2 mm erwarten, dass 99,33 % der Baugruppen eine Dicke innerhalb der 125 mm+/-2 mm aufweisen. Das bedeutet, dass wir erwarten sollten, dass eine von etwa 300 Baugruppen eine Dicke von weniger als 123 mm oder mehr als 127 mm aufweist. Indem wir die Toleranz in der Berechnung variieren, können wir die Ausschuss- oder Fehlerrate schätzen und die Kosten für Ausschuss/Fehler mit den Kosten für engere Einzelteiltoleranzen vergleichen.
Die beiliegende Kalkulationstabelle enthält dieses Beispiel, das nach dem oben genannten Ansatz berechnet wurde. Siehe RSS-Blatt. Beispiele für Toleranzanalysen
Best Practices and Assumptions
Die Normalverteilungsannahme beruht darauf, dass die Prozessvariation viele kleine Störungen aufweist, die sich im Allgemeinen zum Endmaß addieren. Es ist am besten, etwa 30 Stichproben zu messen, um den Mittelwert und die Standardabweichung zu schätzen.
Wenn es nicht möglich ist, Messungen durchzuführen, dann ist die Annahme, dass die Abmessungen der Teile in der Mitte des Toleranzbereichs liegen und plus oder minus drei Standardabweichungen über den Toleranzbereich aufweisen, eine konservative Ausgangsannahme. Dies setzt natürlich voraus, dass der Teileerstellungsprozess in der Lage ist, 99,7 % der Teile innerhalb der Toleranzspezifikationen zu erstellen.
Wenn Sie weniger als 30 Teile messen, um die Standardabweichung zu schätzen, verwenden Sie unbedingt die Formel für die Standardabweichung der Probe.
$$ \large\displaystyle \sigma =\sqrt{\frac{\sum\nolimits_{i=1}^{N}{{{\left( {{x}_{i}}-\bar{x} \right)}^{2}}}}{N-1}}$$
Wobei N die Anzahl der Stichproben ist,
xi ist die i-te Messung,
und x̄ ist der Stichprobenmittelwert der Stichproben.
Verwandt:
Worst Case Toleranzanalyse (Artikel)
Varianz (Artikel)
Prozessfähigkeit (Artikel)
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