Tajný svět kódů a luštění kódů

Při představě špionů a tajných agentů se vám možná vybaví spousta věcí: důmyslné pomůcky, cestování do zahraničí, nebezpečné rakety, rychlá auta a to, že se třese, ale nemíchá. Na matematiku byste asi nepomysleli.
Prolamování kódů a odhalování skutečného významu tajných zpráv zahrnuje spoustu matematiky, od jednoduchého sčítání a odčítání až po práci s daty a logické myšlení. Ve skutečnosti byli někteří z nejslavnějších luštitelů kódů v historii matematici, kteří dokázali pomocí zcela jednoduché matematiky odhalit spiknutí, identifikovat zrádce a ovlivnit bitvy.
Římský šprt
Uvedu vám příklad. Před téměř 2000 lety byl Julius Caesar zaneprázdněn dobýváním světa, napadal země, aby zvětšil velikost Římské říše. Potřeboval způsob, jak sdělit své bitevní plány a taktiku všem na své straně, aniž by se to nepřítel dozvěděl. So Caesar would write messages to his generals in code. Instead of writing the letter ‚A‘, he would write the letter thatcomes three places further on in the alphabet, the letter ‚D‘. Instead of a ‚B‘, he would write an ‚E‘, instead of a ‚C‘, he would write an ‚F‘ and so on. When he got to the end of the alphabet, however, he would have to go right back to the beginning, so instead of an ‚X‘, he would write an ‚A‘, instead of a ‚Y‘, he’d write a ‚B‘ and instead of ‚Z‘, he’d write a ‚C‘.
Complete the table to find out how Caesar would encode the following message:

When Caesar’s generals came to decipher the messages, they knew that all they had to do was go back three places in the alphabet. Have a go at trying to work out these messages which could have been sent by Caesar or his generals:

hqhpb dssurdfklqj
wkluwb ghdg
uhwuhdw wr iruhvw

Easy as 1, 2, 3
This all seems very clever, but so far it’s all been letters and no numbers. So where’s the maths? The maths comes if you think of the letters as numbers from 0 to 25 with A being 0, B being 1, C being 2 etc. Then encoding, shifting the alphabet forward three places, is the same as adding three to your starting number:

For example, encoding the letter ‚A‘ is 0+3=3, which is a ‚D‘.
Coding ‚I‘ is: 8+3=11, which is ‚L‘.
However, you do have to be careful when you get to the end of the alphabet, because there is no letter number 26, so you have to go back to number 0. In maths we call this ‚MOD 26‘, instead of writing 26, we go back to 0.
Have a go at coding your name by adding 3 to every letter. Then have a go at coding your name by shifting the alphabet forward by more places by adding greater numbers eg adding 5, then adding 10. Then have a go at decoding. Pokud jsou vaše písmena čísla a kódování je sčítání, pak dekódování je odečítání, takže pokud jste zprávu zakódovali přičtením 5, budete muset zprávu dekódovat odečtením 5.

Důvod!
Pokud jste zvládli kódování zpráv posunutím abecedy dopředu, pak jste si možná uvědomili, že prolomit tento typ kódu je vlastně docela jednoduché. Lze to snadno provést pouhým pokusem a omylem. Nepřátelský luštitel kódu by musel vyzkoušet pouze 25 různých možných posunů, než by byl schopen vaše zprávy přečíst, což znamená, že vaše zprávy by nebyly tajné příliš dlouho.
A co tedy kódovat zprávy jiným způsobem? Místo písmene bychom mohli napsat symbol nebo nakreslit obrázek. Místo „A“ bychom mohli napsat *, místo „B“ napsat + atd. Dlouho si lidé mysleli, že tento typ kódu bude opravdu těžké prolomit. Nepříteli by trvalo příliš dlouho, než by přišel na to, jaké písmeno abecedy jednotlivé symboly označují, a to pouhým zkoušením všech možných kombinací písmen a symbolů. Existuje 400 milionů miliard miliard možných kombinací!
Tento typ kódu používala Marie, královna Skotská, když intrikovala proti Alžbětě První. Marie chtěla Alžbětu zabít, aby se sama mohla stát anglickou královnou, a posílala takové kódované zprávy svému spoluspiklenci Anthonymu Babingtonovi. Naneštěstí pro Marii existuje velmi jednoduchý způsob, jak tento kód rozluštit, který nezahrnuje pokusy a omyly, ale zahrnuje, světe div se, matematiku.

Dopis odeslaný Marií královnou Skotskou jejímu spoluspiklenci Anthonymu Babingtonovi. Každý symbol znamená písmeno abecedy.

Dopisy v jazyce jsou dost neobvyklé, protože některá písmena se používají častěji než jiná. Jednoduchý experiment, kterým si to můžete ověřit, spočívá v tom, že vyzvete všechny ve třídě, aby zvedli ruku, pokud mají ve svém jméně písmeno „E“. Pak nechte zvednout ruku všechny, kteří mají písmeno „Z“, pak „Q“ a nakonec „A“. Pravděpodobně zjistíte, že „E“ a „A“ jsou častější než „Z“ a „Q“. Následující graf ukazuje průměrnou četnost písmen v angličtině. Při jeho sestavování lidé procházeli tisíce a tisíce knih, časopisů a novin a počítali, kolikrát se každé písmeno objevilo.

V angličtině je nejčastěji používaným písmenem „E“. V jakémkoli písemném projevu použijeme písmeno E v průměru asi ve 13 % případů. Druhým nejčastěji používaným písmenem je ‚T‘ a třetím nejčastěji používaným písmenem je ‚A‘.
A právě tyto informace vám mohou pomoci při luštění kódů. Špiónskému mistrovi Alžbětě I. stačilo k rozluštění Mariina kódu projít zakódovanou zprávu a spočítat, kolikrát se v ní jednotlivé symboly objevily. Symbol, který se objevil nejčastěji, by pravděpodobně znamenal písmeno „E“. Podívejte se na náš problém se starověkými runami, kde najdete další kód, který se dal rozluštit tak, že jste spočítali, jak často se jednotlivé symboly objevují.
Když takto luštíte kódy tak, že hledáte nejčastěji se vyskytující písmeno, říká se tomu „frekvenční analýza“, a právě tato chytrá metoda luštění kódů vedla k tomu, že Marii byla useknuta hlava. CHOP!

Vyzkoušejte si svůj talent
Louskání těchto kódovaných zpráv nespočívá jen v hledání nejčastějších symbolů, ale můžete také hledat symboly, které se ve zprávě vyskytují všechny samostatně, tj. jednopísmenná slova. V angličtině existují pouze dvě jednopísmenná slova, „A“ a „I“, takže osamocený symbol by musel znamenat „A“ nebo „I“. Další věcí, na kterou si můžete dát pozor, jsou společná slova. Nejčastější třípísmenná slova v angličtině jsou „the“ a „and“, takže pokud uvidíte skupinu tří symbolů, které se objevují poměrně často, mohly by znamenat „the“ nebo „and“.
Pokud si chcete tyto tipy na luštění kódů a svůj nový talent na luštění kódů vyzkoušet, podívejte se do Černé komory Simona Singha. Najdete v ní hádanky Césarův posun a frekvenční analýzu a další kódy, které se můžete pokusit rozluštit.
Další informace o dalších tajných kódech, které se používaly v historii, najdete na webových stránkách Simona Singha. Je plný informací o nejrůznějších kódech, včetně slavného příběhu Enigmy, kódovacího stroje, který používali Němci za druhé světové války. Němci si mysleli, že jejich kód je neporazitelný, ale neuvěřitelným způsobem se britským matematikům podařilo kód prolomit a přečíst všechny zprávy, které Němci během války poslali. Historici se domnívají, že díky těmto interním informacím se válka zkrátila o celé dva roky.

UPOZORNĚNÍ
Po přečtení tohoto článku možná dostanete chuť vymyslet si nějaké vlastní kódy a napsat si vlastní tajné zprávy. UPOZORNĚNÍ. Tento článek si přečetli i další lidé a i oni se stanou špičkovými matematickými luštiteli kódů. Špióni jsou všude, takže buďte opatrní – kdo čte vaše zprávy?“

Claire Ellisová, autorka tohoto článku, byla ředitelkou projektu Enigma, který přenáší kódy a luštění kódů a pravý stroj Enigma z 2. světové války do školních tříd. Pro více informací kontaktujte novou ředitelku Claire Greerovou prostřednictvím webových stránek projektu Enigma pro školy.