El método de la suma de la raíz al cuadrado (RSS) es un método estadístico de análisis de tolerancia.
En muchos casos, las dimensiones reales de las piezas individuales ocurren cerca del centro del rango de tolerancia con muy pocas piezas con dimensiones reales cerca de los límites de tolerancia. Esto, por supuesto, supone que las piezas están en su mayoría centradas y dentro del rango de tolerancia.
El RSS asume que la distribución normal describe la variación de las dimensiones. La curva en forma de campana es simétrica y se describe completamente con dos parámetros, la media, μ, y la desviación estándar, σ.
Las varianzas, no las desviaciones estándar, son aditivas y proporcionan una estimación de la variación combinada de las piezas. El resultado de sumar las medias y tomar la raíz de la suma cuadrada de las desviaciones estándar proporciona una estimación de la distribución normal de la pila de tolerancia. La fórmula para combinar las desviaciones estándar de la pila es
$$ {large\displaystyle {{sigma }_{sys}}={sqrt{{suma\nolimits_{i=1}^{{n}{sigma _{i}^{2}}$
Donde σi es la desviación estándar de la i’s parte,
Y, n es el número de piezas de la pila,
Y, σsys es la desviación típica de la pila.
La distribución normal tiene la propiedad de que aproximadamente el 68,2% de los valores caen dentro de una desviación estándar de la media. Asimismo, el 95,4% dentro de 2 desviaciones estándar y el 99,7% dentro de 3 desviaciones estándar.
Ejemplo sencillo
Utilizando el mismo ejemplo que con el método del peor caso, tenemos cinco platos que tendrán cada uno diferentes dimensiones. Para cualquier conjunto de cinco, no conocemos las cinco dimensiones individuales, pero podemos estimar cuáles serán esas dimensiones utilizando la estadística.
En promedio las placas tienen 25mm de espesor. Y asumiendo que cada pieza será ligeramente diferente al valor medio y que la distribución normal describe la variación, necesitamos entonces estimar la desviación estándar del grosor de la pieza.
Para este ejemplo vamos a medir 30 placas y calcular la desviación estándar. Si encontramos que la desviación estándar es de 0,33mm sabemos que la mayoría de las piezas tendrán dimensiones dentro de la tolerancia de 0,99mm si las piezas siguen una distribución normal (más adelante veremos cómo comprobar esta suposición). Esta es nuestra estimación de cómo varía realmente el grosor de la pieza.
Apilando cinco bloques, el grosor medio es 5 veces el grosor medio o 125mm.
Esperamos que aproximadamente el 99,7% de las pilas de cinco bloques tengan el grosor combinado dentro del rango de más o menos 3 desviaciones estándar de las placas combinadas. Para combinarlas utilizamos la fórmula para sumar las desviaciones y volver a convertir a desviación estándar con una raíz cuadrada.
En este caso sumamos las cinco desviaciones, 0.332, y sacamos la raíz cuadrada de esa suma.
$ \ge\displaystyle {{{sigma }_{sys}}=\qrt{{suma\nolimits_{i=1}^{5}{0,33_{i}^{2}}=0,7379$$
Y, como aproximadamente el 99.7% de los valores están dentro de +/- 3σ, el rango de valores de espesor combinados para la pila de cinco placas debería estar dentro de 125mm +/- (3 x 0,7379mm o 2,2137mm) o la mayoría caen entre 122,79mm y 127,21mm.
Para estimar el número de montajes fuera de la tolerancia deseada podemos utilizar los valores de la distribución normal del sistema, en este caso, la media, μ, es 125, y la desviación estándar, σ, es 0,7379. Dentro de Excell utilice la función NORMDIST. En general, construya la celda de la siguiente manera:
=1-(NORMDIST(Media+Tolerancia, Media, σsys)-0,5)*2
Donde la media es de las medias combinadas de las partes involucradas en la pila. En este ejemplo la media del sistema es 125mm.
La tolerancia es el valor deseado, en este ejemplo vamos a suponer que nos gustaría que el total de la pila estuviera dentro de 2mm de la media, o una tolerancia de 2.
La σsys es la desviación estándar de las partes combinadas encontrada usando la raíz de la suma de las desviaciones estándar al cuadrado de las partes involucradas.
Restaremos 0.5 para hallar la probabilidad unilateral de que el resultado esté por debajo del valor máximo (media más tolerancia), y multiplicamos la probabilidad resultante por 2 para hallar la posibilidad de que el conjunto final esté por encima o por debajo de la tolerancia deseada.
En este ejemplo, para una tolerancia de 2 mm, esperaríamos que el 99,33% de los conjuntos tuvieran un grosor dentro de los 125 mm+/-2 mm. Esto implica que deberíamos esperar que uno de cada 300 montajes tenga un grosor inferior a 123 mm o superior a 127 mm. Variando la tolerancia en el cálculo podemos estimar la tasa de desechos o de defectos y comparar el coste de los desechos/fracasos con el coste de las tolerancias más estrictas de las piezas individuales.
La hoja de cálculo adjunta proporciona este ejemplo elaborado con el enfoque anterior. Vea la hoja RSS. ejemplos de análisis de tolerancia
Mejores prácticas y suposiciones
La suposición de distribución normal se basa en que la variación del proceso tiene muchas pequeñas perturbaciones que generalmente se suman para crear la dimensión final. Lo mejor es medir realmente unas 30 muestras para estimar la media y la desviación estándar.
Cuando la recopilación de mediciones no es factible, entonces asumir que las piezas tendrán dimensiones centradas en el rango de tolerancia y tendrán más o menos tres desviaciones estándar a través del rango de tolerancia es una suposición inicial conservadora. Por supuesto, esto implica que el proceso de creación de piezas es capaz de crear el 99,7% de las piezas dentro de las especificaciones de tolerancia.
Si se miden menos de 30 piezas para estimar la desviación estándar, asegúrese de utilizar la fórmula de desviación estándar de muestra.
$$ \large\displaystyle \sigma =\sqrt{{frac{{nolimits_{i=1}^{N}{{left( {{x}_{i}-\bar{x}{right)}^{2}}}}{N-1}}$
Donde N es el número de muestras,
xi es la i-ésima medida,
Y x̄ es la media muestral de las muestras.
Relacionado:
Análisis de Tolerancia del Caso Peor (artículo)
Varianza (artículo)
Capacidad del Proceso (artículo)
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