Combien de temps faudrait-il pour aller sur la Lune à vélo ?

Il y a cinquante ans, le 20 juillet 1969, Neil Armstrong est devenu le premier humain à poser le pied sur la surface de la lune. Je trouve toujours cela incroyable – à la fois l’alunissage et le fait que c’était il y a un demi-siècle. En l’honneur de cette réalisation historique, et conscient de notre empreinte carbone alors que les plans se développent pour un voyage de retour, j’ai pensé que je pourrais estimer le temps que cela pourrait prendre pour y aller à vélo.

Quoi ? Ouaip. Comme l’a dit le président John F. Kennedy, nous faisons de telles choses non pas parce qu’elles sont faciles, mais parce qu’elles sont difficiles. Et elles soulèvent de grandes questions de physique ! Je vais vous guider à travers les bases, puis je vous laisserai avec quelques questions pour vos devoirs.

Débarrassons-nous de certains problèmes de mise en œuvre. Nous aurions besoin d’installer un câble entre la Terre et la Lune, évidemment. Et vous, si vous décidez d’accepter cette mission, vous aurez un joli vélo blanc de la NASA avec des roues spéciales pour rouler le long du câble. (Nous supposerons qu’il n’y a aucune perte d’énergie due à la friction.) Oh, et les roues ne roulent que dans un sens, donc vous ne vous écraserez pas si vous faites une pause.

Pour être clair, ce schéma n’aurait pas fonctionné dans le temps pour le programme Apollo. Kennedy a juré de mettre un homme sur la lune avant la fin de la décennie, et en l’état, la NASA a à peine réussi. Heureusement, le vaisseau spatial Apollo 11 n’a mis que quatre jours pour y arriver. Faire le voyage en vélo aurait fait sauter ce délai. Mais à quel point exactement aurions-nous été en retard ?

Démarrer

Pour commencer, nous avons besoin de quelques faits sur lesquels travailler. Tout d’abord, à quelle distance se trouve la lune ? Comme l’orbite de la lune autour de la Terre n’est pas parfaitement circulaire, il n’y a pas de réponse unique. Mais partons d’une distance moyenne de 240 000 miles (386 000 km) – c’est le chiffre auquel je pense lorsque ma voiture vieillit. Une fois que j’ai atteint 240 000 sur le compteur kilométrique, je sais que je suis allé assez loin pour atteindre la lune.

Maintenant, vous pourriez penser, OK, un humain peut pédaler 15 miles à l’heure ; je peux utiliser cela pour calculer la durée du voyage. Mais non. Vous pourriez être capable de faire du 15 mph sur une belle route plate, mais dans ce cas, vous seriez en train de monter une colline, en ligne droite. Ensuite, pour compliquer les calculs, plus vous vous éloignez de la Terre, plus l’attraction gravitationnelle diminue. Chaque jour, le même effort vous emmènerait un peu plus loin. Finalement, vous seriez assez proche de la lune pour que cela devienne une descente et que vous puissiez simplement descendre en roue libre.

Alors, au lieu d’estimer la vitesse, qui varierait, je vais estimer la puissance de sortie d’un humain. Si vous êtes un cycliste du Tour de France, vous pourriez être capable de produire 200 watts pendant six heures par jour. (Consultez le parcours de l’étape 4 de Ben King sur Strava.) Utilisons cette valeur pour l’instant ; vous pourrez la modifier plus tard si vous n’êtes pas un cycliste du Tour de France.

Puis, nous voulons déterminer combien de temps il faudrait pour monter d’une petite distance Δy sur votre vélo spécial câble lunaire. Disons que le champ gravitationnel a une force g (en newtons par kilogramme). La variation de l’énergie potentielle gravitationnelle (UG) pour cette courte montée serait de :

Dans cette expression, m est la masse de l’humain (en kilogrammes). Puisque la puissance (P) est la variation d’énergie divisée par la variation de temps, je peux utiliser mon estimation de la puissance pour trouver le temps (Δt) qu’il faut pour se déplacer un peu vers le haut :

Pourquoi est-ce que j’utilise une courte distance ? Ce sera bientôt clair. Tout d’abord, faisons une vérification rapide : Supposons que l’homme a une masse de 75 kg (165 livres) et une puissance de 200 watts. Combien de temps lui faudrait-il pour se déplacer d’un mètre ? Avec ces chiffres, j’obtiens un temps de 3,675 secondes.

Cela vous semble-t-il trop long ? Eh bien, oui et non. Oui, il est vrai que vous pourriez monter un mètre de hauteur sur certains escaliers en une seconde. Mais vous utiliseriez bien plus que 200 watts de puissance. Imaginez que vous essayez de garder ce rythme pendant 6 heures d’affilée. Ouais, donc cette expression a l’air bonne.

Gérer les changements de gravité

Peut-on simplement faire la même chose pour tout le voyage vers la lune ? J’ai bien peur que non. Le problème est ce facteur g. Vous pouvez avoir l’impression que la gravité ne change pas lorsque vous montez quelques marches, mais c’est juste parce que vous vous êtes dégonflé avant d’arriver vraiment quelque part. Le champ gravitationnel s’affaiblit à mesure que la distance par rapport au centre de la Terre augmente. Nous pouvons trouver la valeur (vectorielle) du champ gravitationnel avec l’équation suivante :

Dans ce diagramme, si vous êtes ce point gris dans l’espace, nous pouvons calculer la force gravitationnelle en ce point à l’aide de l’équation de droite. G est une constante gravitationnelle universelle, ME est la masse de la Terre, et r est un vecteur du centre de la Terre vers vous.

Mais attendez ! Il n’y a pas que la Terre qui a de la gravité. La lune en a aussi, donc je dois ajouter un autre terme à mon équation. Disons que la lune a une masse de mm, et que la distance entre la Terre et la lune est R. Je peux maintenant calculer le champ gravitationnel total :

Je triche en quelque sorte en rendant positive la composante de g due à la Terre, mais de cette façon, elle correspondra à la valeur à la surface de la Terre de mon calcul précédent. Voici un graphique de la magnitude de ce champ gravitationnel allant de la Terre à la lune. (Voici le code.)

En partant de la Terre, le champ gravitationnel est de 9.8 N/kg (c’est bien). À la surface de la Lune, le champ gravitationnel est dans la direction opposée avec une magnitude de 1,6 N/kg. Cela se vérifie également : L’intensité du champ gravitationnel de la lune est environ un sixième de celui de la Terre.

Mais regardez : Pour la majeure partie du voyage, les effets de la gravité ne sont pas nuls, mais ils sont assez faibles. Le démarrage serait ardu, mais une fois que vous avez atteint environ, oh, 10 000 miles, la force gravitationnelle de la Terre n’est que de 10 pour cent de ce qu’elle est au sol. Cela peut sembler loin, mais rappelez-vous que la lune est à 240 000 miles. Et après cela, vous pouvez vraiment prendre de la vitesse. Enfin, à la toute fin, c’est une descente facile vers la surface lunaire. Peut-être un peu trop facile – j’en reparlerai dans une minute.

Votre heure d’arrivée estimée

Maintenant que j’ai une expression pour le champ gravitationnel, je peux répéter mon calcul pour le temps de voyage basé sur la puissance humaine – cette fois-ci en recalculant g pour chaque petite étape du parcours. Voici ce que j’obtiens pour la distance parcourue en fonction du temps. Ce n’est pas tout le trajet, juste jusqu’au point où le trajet passe en « descente ». (Voici le code.)

Je suis en fait surpris : Cela ne prendrait que 267 jours. C’est moins que ce que je pensais ! Si l’on prend la distance de 240 000 miles, cela correspond à une vitesse moyenne de 37 mph. Bien sûr, cela représente 267 jours de pédalage 24 heures sur 24, 7 jours sur 7, à un niveau d’effort considérable. Si au lieu de cela, vous pédaliez six heures par jour, cela prendrait quatre fois plus de temps – donc presque trois ans, et ce n’est même pas tout le chemin vers la lune.

Qu’en est-il du reste du voyage ? Une option serait de simplement arrêter de pédaler. Vous continueriez surtout à avancer à la même vitesse jusqu’à ce que vous soyez beaucoup plus près de la lune – mais cela reste assez rapide. Une fois que vous aurez atteint la surface de la lune, vous vous écraserez en quelque sorte. Mais à quelle vitesse ? Voici un graphique de la vitesse du vélo en fonction du temps :

Yup. C’est une moto lunaire rapide, super rapide. Aux alentours du 258ème jour, vous atteindrez les 100 mètres par seconde (environ 220 mph). Une semaine ou deux plus tard, vous feriez vraiment du bon temps, jusqu’à 1 000 m/s (2 200 mph).

Lorsque le champ gravitationnel devient vraiment petit, toute l’énergie du motard ne fait qu’augmenter la vitesse. Mais en réalité, il y a une erreur dans mon modèle qui le rendrait encore plus rapide (probablement). Mes calculs considèrent que toute l’énergie de l’homme est transformée en énergie potentielle gravitationnelle pour augmenter la distance. Mais lorsque le champ gravitationnel est faible, il ne faut vraiment pas beaucoup de temps pour se déplacer « vers le haut » – on finit donc par être super rapide. Ce modèle ne prend pas directement en compte les changements d’énergie cinétique, et il suppose que le coureur part avec une vitesse nulle au début de chaque pas. Mais je continue à penser que le calcul du temps global semble légitime.

Je suppose que c’est une bonne chose que les astronautes de la NASA aient utilisé une fusée au lieu d’un vélo, cependant. Maintenant, quelques devoirs.

Du travail

• Où se trouve le point où le champ gravitationnel total a une magnitude nulle ? Cela ne devrait pas être trop difficile.
• Dans mon calcul, j’ai utilisé une masse de cavalier de 75 kg. C’est follement petit, car cela n’inclut pas la masse du vélo. Que se passe-t-il si vous modifiez la masse totale du cycliste à 100 kg ou peut-être même 200 kg ? Comment cela change-t-il le temps de trajet ?
• Vous ne pouvez pas rouler aussi longtemps sans manger. En utilisant une masse de cavalier de 100 kg, combien de sandwichs faudrait-il consommer pour aller sur la lune ?
• Puisque vous ne pouvez pas vous arrêter à un Denny’s en bord de route pour manger, vous devrez apporter ces sandwichs avec vous. De combien cela augmente-t-il la masse totale ?
• Pourquoi y a-t-il un câble reliant la Terre à la Lune ? Estimez la quantité d’acier nécessaire pour fabriquer un tel câble.
• Le système Terre-lune n’est pas stationnaire. Au contraire, il tourne. Comment cette rotation changerait-elle le temps nécessaire pour se rendre sur la lune à vélo ?
• Mettez au point un plan pour atterrir sur la lune. A quelle vitesse voyageriez-vous ? Quand ralentiriez-vous ? Combien d’énergie faudrait-il dissiper (sous une forme ou une autre) ?

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