Le théorème fondamental de l’algèbre fondamental je vais l’écrire théorème de l’algèbre nous dit que si nous avons un polynôme de nième degré alors…. disons que j’ai la fonction P de X et qu’elle est définie par un polynôme de nième degré, disons que c’est un X à n plus B X à N moins 1 et on va jusqu’à un terme constant à la fin, donc c’est un polynôme de nième degré. donc c’est un polynôme du nième degré le théorème fondamental de l’algèbre nous dit que ce polynôme du nième degré va avoir exactement n racines n racines ou une autre façon d’y penser il y aura exactement n valeurs pour X qui feront que ce polynôme fera que cette expression sur la droite sera égale à 0 donc au début vous pourriez dire ok c’est logique vous avez vu des polynômes du second degré dont les graphes pourraient ressembler à quelque chose comme ça donc voyons donc l’axe y-c’est l’axe x-nous savons que le polynôme du second degré définirait une parabole donc ça pourrait ressembler à quelque chose comme ça et vous pourriez acheter que ok c’est un second degré c’est un second degré et vous voyez que cette fonction est égale à a 0 exactement deux fois elle a exactement elle a exactement deux racines elle a deux racines donc ça semble cohérent avec le théorème fondamental de l’algèbre et vous pourriez aussi imaginer un polynôme du troisième degré ressemblant à ça donc c’est mon axe y c’est mon axe x vous pourriez imaginer un polynôme du troisième degré ressemblant à quelque chose comme ça bamm-bamm je suis et ça continue comme ça et ici vous voyez son polynôme du troisième degré et vous verrez qu’il a une deux trois racines et je peux avoir un polynôme du quatrième degré qui ressemble peut-être à quelque chose comme ça où il va quelque chose comme ça et vous dites ok ça a du sens il aura mais alors vous pouvez commencer à vous souvenir de choses qui ne se comportent pas toujours de cette façon par exemple beaucoup beaucoup beaucoup de fois nous avons vu des paraboles nous avons vu des polynômes du second degré qui ressemblent plus à ceci où ils ne semblent pas couper l’axe x-donc cela semble être en conflit avec le théorème fondamental de l’algèbre le théorème fondamental de l’algèbre dit que si nous avons un polynôme du second degré du second degré alors nous devrions avoir exactement deux racines maintenant c’est la clé le théorème fondamental de l’algèbre étend notre système numérique nous ne parlons pas seulement de racines réelles nous parlons de racines complexes et en particulier le théorème fondamental de l’algèbre permet même à ces coefficients d’être complexes et donc quand on regarde ces premiers exemples ce sont tous des racines réelles et les nombres réels sont un sous-ensemble des nombres complexes donc ici vous aviez deux racines réelles ici vous aviez trois racines réelles dans cette fonction orange vous aviez quatre racines réelles dans cette fonction jaune cette parabole jaune juste ici le polynôme du second degrédegré nous n’avons pas de racines réelles c’est pourquoi vous ne la voyez pas couper l’axe des x mais nous aurons deux racines complexes donc celle-ci juste ici aura deux racines complexes deux racines complexes et les racines complexes les racines complexes non réelles parce que les nombres réels sont des nombres non réels.Par exemple, si vous avez un polynôme du troisième degré, il peut ressembler à quelque chose comme ceci, un problème du troisième degré, il peut ressembler à quelque chose comme ceci : il a une racine réelle, mais le théorème fondamental de l’algèbre nous dit qu’il a nécessairement deux autres racines parce que c’est un troisième degré, donc nous savons que les deux autres racines doivent être des racines complexes non réelles.Nous savons donc que les deux autres racines doivent être des racines complexes non réelles. Maintenant, pourriez-vous avoir une situation où vous avez un polynôme du troisième degré avec trois racines complexes ?La réponse est non car les racines complexes, comme nous le verrons dans les prochaines vidéos, vont toujours par paires, c’est-à-dire qu’elles sont conjuguées l’une à l’autre. Vous pourriez donc avoir un polynôme du quatrième degré qui n’a pas de racines réelles par exemple, ce qui pourrait ressembler à ceci : dans ce cas, vous auriez deux paires de racines complexes ou vous auriez quatre racines complexes non réelles et vous pourriez les regrouper.réelles et vous pouvez les regrouper en deux paires où dans chaque paire vous avez des conjugués et nous verrons cela dans la prochaine vidéo
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