La méthode de la somme des racines au carré (RSS) est une méthode d’analyse statistique de la tolérance.
Dans de nombreux cas, les dimensions réelles des pièces individuelles se situent près du centre de la plage de tolérance, avec très peu de pièces dont les dimensions réelles sont proches des limites de tolérance. Ceci, bien sûr, suppose que les pièces sont pour la plupart centrées et dans la plage de tolérance.
La RSS suppose que la distribution normale décrit la variation des dimensions. La courbe en forme de cloche est symétrique et complète décrite avec deux paramètres, la moyenne, μ, et l’écart type, σ.
Les variances, et non les écarts types, sont additives et fournissent une estimation de la variation combinée des pièces. Le résultat de l’addition des moyennes et de la prise de la somme quadratique des écarts types fournit une estimation de la distribution normale de la pile de tolérance. La formule pour combiner les écarts types de la pile est
$$ \large\displaystyle {{\sigma }_{sys}}=\sqrt{\sum\nolimits_{i=1}^{n}{\sigma _{i}^{2}}}$$
Où σi est l’écart type de la i’ième pièce,
Et, n est le nombre de pièces dans la pile,
Et, σsys est l’écart-type de la pile.
La distribution normale a la propriété qu’environ 68,2% des valeurs se situent dans un écart-type de la moyenne. De même, 95,4 % dans un écart-type de 2 et 99,7 % dans un écart-type de 3.
Exemple simple
En reprenant le même exemple que pour la méthode du pire cas, nous avons cinq plaques qui auront chacune des dimensions différentes. Pour tout ensemble donné de cinq, nous ne connaissons pas les cinq dimensions individuelles, pourtant nous pouvons estimer ce que seront ces dimensions en utilisant les statistiques.
En moyenne, les plaques ont une épaisseur de 25 mm. Et en supposant que chaque pièce sera légèrement différente de la valeur moyenne et que la distribution normale décrit la variation, nous devons alors estimer l’écart type de l’épaisseur des pièces.
Pour cet exemple, mesurons 30 plaques et calculons l’écart type. Si nous constatons que l’écart type est de 0,33 mm, nous savons que la plupart des pièces auront des dimensions comprises dans la tolérance de 0,99 mm si les pièces suivent une distribution normale (nous verrons plus tard comment vérifier cette hypothèse). C’est notre estimation de la façon dont l’épaisseur des pièces varie réellement.
En empilant cinq blocs, l’épaisseur moyenne est de 5 fois l’épaisseur moyenne ou 125mm.
Nous nous attendons à ce qu’environ 99,7% des piles de cinq blocs aient une épaisseur combinée qui se situe dans la fourchette de plus ou moins 3 écarts types des plaques combinées. Afin de les combiner, nous utilisons la formule pour additionner les variances et reconvertir en écart-type avec une racine carrée.
Dans ce cas, nous additionnons les cinq variances, 0.332, et prenons la racine carrée de cette somme.
$$ \large\displaystyle {{\sigma }_{sys}}=\sqrt{\sum\nolimits_{i=1}^{5}{0,33_{i}^{2}}}=0,7379$
Et, comme environ 99.7% des valeurs se situent dans une fourchette de +/- 3σ, la plage des valeurs d’épaisseur combinées pour la pile de cinq plaques devrait se situer dans une fourchette de 125mm +/- (3 x 0,7379mm ou 2,2137mm) ou la plupart se situent entre 122,79mm et 127,21mm.
Pour estimer le nombre d’assemblages en dehors de la tolérance souhaitée, nous pouvons utiliser les valeurs de la distribution normale du système, dans ce cas, la moyenne, μ, est de 125, et l’écart type, σ, est de 0,7379. Dans Excell, utilisez la fonction NORMDIST. En général, construisez la cellule comme suit :
=1-(NORMDIST(Moyenne+Tolérance, Moyenne, σsys)-0,5)*2
Où la moyenne est celle des moyennes combinées des parties impliquées dans la pile. Dans cet exemple, la moyenne du système est de 125 mm.
La tolérance est la valeur souhaitée, dans ces exemples, supposons que nous aimerions que la pile totale soit dans les 2 mm de la moyenne, soit une tolérance de 2.
La σsys est l’écart type des parties combinées trouvé en utilisant la somme des écarts types au carré des parties impliquées.
Nous soustrayons 0.5 pour trouver la probabilité unilatérale que le résultat soit inférieur à la valeur maximale (moyenne plus tolérance), et nous multiplions la probabilité résultante par 2 pour trouver la chance que l’assemblage final soit supérieur ou inférieur à la tolérance souhaitée.
Dans cet exemple, pour une tolérance de 2 mm, nous nous attendons à ce que 99,33 % des assemblages aient une épaisseur comprise dans les 125 mm+/-2 mm. Cela implique que nous devrions nous attendre à ce qu’un assemblage sur environ 300 donne lieu à une épaisseur soit inférieure à 123mm, soit supérieure à 127mm. En faisant varier la tolérance dans le calcul, nous pouvons estimer le taux de rebut ou de défaut et comparer le coût du rebut/du défaut au coût de tolérances plus strictes des pièces individuelles.
La feuille de calcul ci-jointe fournit cet exemple élaboré à l’aide de l’approche ci-dessus. Voir la feuille RSS. exemples d’analyse de tolérance
Bonnes pratiques et hypothèses
L’hypothèse de la distribution normale repose sur la variation du processus a de nombreuses petites perturbations qui s’additionnent généralement pour créer la dimension finale. Il est préférable de mesurer réellement environ 30 échantillons pour estimer la moyenne et l’écart type.
Lorsque la collecte de mesures n’est pas possible, alors supposer que les pièces auront des dimensions centrées dans la plage de tolérance et auront plus ou moins trois écarts types dans la plage de tolérance est une hypothèse de départ conservatrice. Bien sûr, cela implique que le processus de création de pièces est capable de créer 99,7 % des pièces dans les spécifications de tolérance.
Si vous mesurez moins de 30 pièces pour estimer l’écart-type, veillez à utiliser la formule d’écart-type type.
$$ \large\displaystyle \sigma =\sqrt{\frac{\sum\nolimits_{i=1}^{N}{{\left( {{x}_{i}}-\bar{x} \right)}^{2}}}}{N-1}$
Où N est le nombre d’échantillons,
xi est la ième mesure,
Et x̄ est la moyenne des échantillons.
Relié:
Analyse de la tolérance dans le pire des cas (article)
Variance (article)
Capacité du processus (article)
Cette introduction rapide à trois méthodes d’analyse statistique vous permet de déterminer ou d’évaluer rapidement les tolérances des pièces. De plus, vous apprendrez pourquoi les tolérances sont essentielles pour obtenir un produit ou un système fiable.
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