Essayons d’étoffer quelques phrases avec les mots de départ de la question et voyons ce qui est différent :
J’aurais aimé sortir avant qu’il ne commence à pleuvoir.
J’aurais aimé sortir avant qu’il ne commence à pleuvoir.
Si nous ignorons la partie » j’aurais aimé » de la phrase, la différence entre les deux est un conditionnel dans la deuxième (le » aurait « ). Encore une fois, sans le « I wish », nous aurions la première phrase indiquant que la personne qui parle est sortie dans le passé et l’a fait avant qu’il ne commence à pleuvoir, tandis que la deuxième phrase indiquant que le locuteur n’est pas sorti mais l’aurait fait si une certaine condition non exprimée avait été remplie.
Mais le « I wish » fait passer la première phrase d’une phrase au passé pur (« I did go out ») à une phrase où cela ne s’est pas produit (« I didn’t go out ») avec des regrets que cela ne se soit pas produit (« I wish I had »).
La deuxième phrase passe d’un conditionnel ( » je serais sorti « ) à un où cela ne s’est pas produit et avec des regrets que cela ne se soit pas produit.
Et donc je pense que l’ajout de » j’aurais aimé » rend équivalente la pensée exprimée. Cela dit, la première phrase est grammaticalement correcte et la deuxième phrase souffre d’une utilisation inappropriée du conditionnel.