Először talán azt gondolod, hogy a nulla szorozva a végtelennel egyenlő a nullával. Hiszen bármely szám nulla szorozva egyenlő nullával, a végtelen azonban nem szám.
A logika azt diktálja, hogy a nulla szorozva önmagával, akárhányszor is, mindig egyenlő lesz nullával. Bizonyítani fogom azonban, hogy ez a válasz nem egészen helyes, amikor a végtelennel van dolgunk.
Először is definiálni fogom ezt az axiómát, miszerint minden szám, amelyet a végtelennel osztunk, egyenlő nullával:
| 0 = | c
∞ |
|---|
Ahol c bármely valós szám.
Valaki rámutatott, hogy ez az axióma helytelen. Azt állítja, hogy bármely valós szám osztva a végtelennel egyenlő 0.000..1. Nos, a 0.000..1 egyenlő a nullával ugyanazon okból, amiért az 1 egyenlő a 0.999… Nézze meg ezeket a bizonyításokat további információkért. Azonban minden végtelennel osztott valós szám egyenlő a határozatlannal, mert soha nem lehet befejezni valaminek a végtelen számú részre osztását. Ezért a fenti axióma hamis.
Bizonyítsuk be tehát, hogy mi a nulla szorozva a végtelennel egyenlő:
Az első lépés az, hogy a nullát helyettesítjük az axiómával:
| y = | c
∞ |
* ∞ |
|---|
Ezért, amikor a végtelenségek kioltják egymást, azt kapjuk:
Két barátom most bizonyította be nekem, hogy a végtelen osztva végtelennel NEM egyenlő eggyel, ezért a bizonyításom nem működik. Ha érdekel, itt a bizonyíték, hogy a végtelen osztva végtelennel nem egyenlő eggyel. Valójában, ha bármilyen számot (beleértve a nullát is) megszorozunk a végtelennel, akkor az eredmény mindig határozatlan. Ezért a nulla szorozva a végtelennel nem definiált.
Ezt át lehet írni a következőképpen:
A nulla szorozva a végtelennel tehát egy határozatlan valós szám. Ez a meghatározatlan definíciója. Ezért a nulla szorozva a végtelennel definiálatlan.
Egy másik szemléletmód az, hogy a nulla szorzatát a végtelennel soha senki nem tudja befejezni, ezért a válasz mindig meghatározatlan lesz. Bár a logika azt diktálja, hogy a válasz soha nem lesz nem nulla, ezt a választ soha nem lehet elérni. Ezért a nulla szorzatának a végtelennel való megkísérlése meghatározatlan.
by Phil for Humanity
on 12/21/2006