Il teorema fondamentale dell’algebra

il teorema fondamentale dell’algebra fondamentale lo scrivo teorema dell’algebra ci dice che se abbiamo un polinomio di nono grado quindi scriviamolo, quindi diciamo che ho, diciamo che ho la funzione P di X ed è definita da un polinomio di nono grado, quindi diciamo che è un X alla n più B X alla N meno 1 e si va fino a qualche termine costante alla fine, quindi questo è un polinomio di nono grado alla fine quindi questo è un polinomio di grado n il teorema fondamentale dell’algebra ci dice che questo polinomio di grado n avrà esattamente n radici n radici o un altro modo per pensarci saranno esattamente n valori per X che faranno sì che questo polinomio faccia sì che questa espressione sulla destra sia uguale a 0 quindi all’inizio potreste dire ok questo ha senso avete visto polinomi di secondo grado di secondo grado i cui grafici potrebbero sembrare qualcosa del genere quindi vediamo così l’asse y-che è l’asse xsappiamo che il polinomio di secondo grado definirebbe una parabola quindi potrebbe apparire qualcosa di simile a questo e potreste comprare che ok questo è un secondo grado che è di secondo grado e vedete che questa funzione è uguale a 0 esattamente in due punti ha esattamente ha esattamente due radici ha due radici quindi questo sembra coerente con il teorema fondamentale dell’algebra e potreste anche immaginare un polinomio di terzo grado che assomiglia a questo quindi questo è il mio asse y questo è il mio asse x potreste immaginare un polinomio di terzo grado che assomiglia a questo bamm-bamm sono e continua ad andare e qui vedete il suo polinomio di terzo grado e vedrete che ha una due tre radici e posso avere un polinomio di quarto grado che forse assomiglia a questo dove fa qualcosa come questo e voi dite ok ha senso avrà avrà una due tre quattro radici ma poi potreste iniziare a ricordare cose che non si comportano sempre in questo modo per esempio molte molte molte molte volte abbiamo visto parabole abbiamo visto polinomi di secondo grado che sembrano più simili a questo dove non sembrano intersecare l’asse xquindi questo sembra essere in conflitto con il teorema fondamentale dell’algebra il teorema fondamentale dell’algebra dice che se abbiamo un polinomio di secondo grado di secondo grado allora dovremmo avere esattamente due radici ora questa è la chiave il teorema fondamentale dell’algebra estende il nostro sistema numerico non stiamo parlando solo di radici reali stiamo parlando di radici complesse e in particolare il teorema fondamentale dell’algebra permette anche a questi coefficienti di essere complessi e quindi quando guardiamo questi primi esempi queste erano tutte radici reali e i numeri reali sono un sottoinsieme dei numeri complessi quindi qui avevate due radici reali qui avevate tre radici reali in questa funzione arancione avevate quattro radici reali in questa funzione gialla questa parabola gialla proprio qui il polinomio di secondopolinomio di secondo grado non abbiamo radici reali, ecco perché non la vedete intersecare l’asse delle x, ma avremo due radici complesse, quindi questa qui avrà due radici complesse, due radici complesse e le radici complesse, le radici non reali complesse, perché i numeri reali sono davveroradici complesse non reali perché in realtà i numeri reali sono un sottoinsieme dei numeri complessi, questi vengono sempre in coppia e lo vedremo nei prossimi video, quindi, per esempio, se avete un polinomio di terzo grado, potrebbe sembrare qualcosa del genere, un problema di terzo grado potrebbe sembrare qualcosa del genere, dove ha una radice reale, ma il teorema fondamentale dell’algebra ci dice che ha necessariamente altre due radici perché è un terzo grado, quindi sappiamo che le altre due radici devono essere radici complesse non realiradici complesse non reali ora si potrebbe avere una situazione in cui si ha un polinomio di terzo grado con tre radici complesse quindi si possono avere tre radici complesse non reali nonradici complesse non reali è possibile per un polinomio di terzo grado beh la risposta è no perché le radici complesse come vedremo nei prossimi video vengono sempre in coppia che vengono in coppia dove sono coniugate l’una con l’altra quindi si potrebbe avere si potrebbe avere un quarto grado si potrebbe avere un polinomio di quarto grado che non ha radici reali per esempio qualcosa potrebbe apparire come questo in questo caso si avrebbero due coppie di radici complesse o si avrebbero quattro radici complesse non reali e si potrebbero raggruppareradici complesse non reali e potresti raggrupparle in due coppie dove in ogni coppia hai dei coniugati e lo vedremo nel prossimo video

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