de fundamentele stelling van algebra fundamentele ik zal het uitschrijven stelling van algebra vertelt ons dat als we een n-de graad polynoom hebben dus laten we het uitschrijven dus laten we zeggen dat ik de functie P van X heb en het is een het is gedefinieerd door een n-de graad polynoom dus laten we zeggen het is een X tot de n plus B X tot de N min 1 en je gaat gewoon helemaal tot een constante term aan het dus dit is een n-de graad polynoom de fundamentele stelling van algebra vertelt ons dat deze n-de graad polynoom precies n wortels zal hebben n wortels of een andere manier om erover na te denken ze zullen precies n waarden voor X zijn waardoor deze polynoom deze uitdrukking aan de rechterkant gelijk zal maken aan 0 dus op het eerste gezicht zou je kunnen zeggen oke dat klinkt logisch je hebt tweedegraads tweedegraads polynomen gezien waarvan de grafieken er ongeveer zo uit zouden kunnen zien dus laten we eens kijken dus y-as dat is de x-as we weten dat de tweedegraads polynoom een parabool definieert dus het zou er ongeveer zo uit kunnen zien en je zou kunnen kopen dat oké dit is een tweedegraads dat is tweedegraads en je ziet dat deze functie gelijk is aan een 0 op precies twee plaatsen het heeft precies het heeft precies twee wortels het heeft twee wortels dus dat lijkt in overeenstemming met de fundamentele stelling van algebra en je zou je ook een derdegraads polynoom kunnen voorstellen die er zo uitziet dus dat is mijn y-as dit is mijn x-as je zou je een derdegraads polynoom kunnen voorstellen die er zoiets uitziet als dit bamm-bamm ik ben en het blijft maar doorgaan en hier zie je zijn derde graad polynoom en je zult zien dat het één twee drie wortels heeft en ik kan een vierde graad polynoom hebben dat er misschien uitziet als dit waar het ongeveer zo gaat en je zegt oké dat is logisch het zal één twee drie vier wortels hebben maar dan begin je je dingen te herinneren die zich niet altijd op deze manier gedragen bijvoorbeeld vele vele vele vele keren hebben we parabolen gezien we hebben tweedegraads polynomen gezien die er meer als dit uitzien waar ze de x-as niet lijken te snijdenDus dit lijkt in strijd met de fundamentele stelling van algebra de fundamentele stelling van algebra zegt als we een tweedegraads polynoom hebben dan moeten we precies twee wortels hebben nu dit is de sleutel de fundamentele stelling van algebra het breidt ons getallenstelsel we hebben het niet alleen over reële wortels we hebben het over complexe wortels en in het bijzonder de fundamentele stelling van algebra staat zelfs toe dat deze coëfficiënten complex zijn en dus als we kijken naar deze eerste voorbeelden waren dit allemaal reële wortels en reële getallen zijn een subset van complexe getallen dus hier had je twee reële wortels hier had je drie reële wortels in deze oranje functie je had vier reële wortels in deze gele functie deze gele parabool precies hier de tweede-graad polynoom we hebben geen echte wortels dat is waarom je het niet ziet snijden met de x-as maar we zullen twee complexe wortels hebben dus deze hier zal twee complexe twee complexe wortels hebben en de complexe wortels de de nietreële complexe wortels want reële getallen zijn een deelverzameling van complexe getallen deze komen altijd in paren en dat zullen we in toekomstige video’s zien dus als je bijvoorbeeld een derdegraads polynoom hebt kan het er ongeveer zo uitzien een derdegraads probleem kan er ongeveer zo uitzien waar het één reële wortel heeft maar dan vertelt de fundamentele stelling van algebra ons dat het noodzakelijkerwijs twee andere wortels heeft omdat het een derde derdegraads is dus weten we dat de andere twee wortels niet reële complexe wortels moeten zijn.reële complexe wortels moeten zijn. Kun je nu een situatie hebben waarin je een derdegraads polynoom hebt met drie complexe wortels, dus kun je drie niet reële complexe nietreële complexe wortels hebben is dat mogelijk voor een derdegraads polynoom? Nou het antwoord is nee want complexe wortels zoals we in de volgende video’s zullen zien komen altijd in paren, in paren waar ze conjugaten van elkaar zijn dus je zou een vierdegraads je zou een vierdegraads polynoom kunnen hebben die geen echte wortels heeft bijvoorbeeld iets dat er ongeveer zo uit zou kunnen zien in dit geval zou je twee paar complexe wortels hebben of je zou vier nietreële complexe wortels en je zou ze kunnen groeperen in twee paren waar in elk paar je conjugaten hebt en we zullen dat zien in de volgende video