Hur lång tid skulle det ta att cykla till månen?

Femtio år sedan, den 20 juli 1969, blev Neil Armstrong den första människan att beträda månens yta. Jag tycker fortfarande att det är fantastiskt – både månlandningen och det faktum att det var ett halvt sekel sedan. För att hedra den historiska prestationen och för att tänka på vårt koldioxidavtryck när planerna för en återresa utvecklas tänkte jag uppskatta hur lång tid det skulle ta att ta sig dit med cykel.

Vad? Som president John F. Kennedy sa, gör vi sådana saker inte för att de är lätta, utan för att de är svåra. Och de ger upphov till en del bra fysikfrågor! Jag ska gå igenom grunderna, och sedan lämnar jag dig med några frågor för läxan.

Så låt oss bara få bort några genomförandefrågor ur vägen. Vi måste naturligtvis dra en kabel mellan jorden och månen. Och du, om du väljer att acceptera uppdraget, skulle få en snygg vit NASA-cykel med speciella greppvänliga hjul för att åka längs kabeln. (Vi antar att ingen energi går förlorad på grund av friktion.) Åh, och hjulen rullar bara åt ena hållet, så du kommer inte att störta ner om du stannar upp för att vila.

För att klargöra att det här systemet inte skulle ha fungerat tidsmässigt för Apolloprogrammet. Kennedy lovade att placera en människa på månen innan decenniet var slut, och som det var nu klarade NASA det knappt. Som tur var tog det bara fyra dagar för rymdskeppet Apollo 11 att ta sig dit. Att göra resan med cykel skulle ha sprängt den tidsfristen. Men exakt hur sent skulle vi ha varit?

Att komma igång

För det första behöver vi några fakta att arbeta med. För det första, hur långt bort ligger månen? Eftersom månens bana runt jorden inte är perfekt cirkulär finns det inget entydigt svar. Men låt oss utgå från ett genomsnittligt avstånd på 240 000 miles (386 000 km) – det är den siffra jag tänker på när min bil börjar bli gammal. När jag når 240 000 på mätaren vet jag att jag har åkt tillräckligt långt för att nå månen.

Nu kanske du tänker: Okej, en människa kan trampa i 15 miles i timmen, det kan jag använda för att beräkna resans längd. Nej. Du kanske kan cykla 15 km/h på en fin platt väg, men i det här fallet skulle du cykla uppför en backe – typ, rakt uppåt. För att komplicera matematiken ytterligare, när du kommer längre bort från jorden minskar gravitationens dragningskraft kontinuerligt. Varje dag skulle samma ansträngning ta dig något längre. Så småningom skulle du komma tillräckligt nära månen för att det skulle bli en nedförsbacke och du skulle bara kunna köra iväg.

Så i stället för att uppskatta hastigheten, som skulle variera, kommer jag att uppskatta en människas uteffekt. Om du är en Tour de France-cyklist kan du kanske producera 200 watt i sex timmar om dagen. (Kolla Ben Kings etapp 4-ritt på Strava.) Låt oss använda det värdet för tillfället; du kan ändra det senare om du inte är Tour de France-cyklist.

Nästan vill vi räkna ut hur lång tid det skulle ta att förflytta sig upp bara en kort sträcka Δy på din speciella cykel med månkabel. Låt oss säga att gravitationsfältet har en styrka g (i newton per kilogram). Förändringen i gravitationspotentiell energi (UG) för denna korta klättring skulle vara:

I detta uttryck är m människans massa (i kilogram). Eftersom effekt (P) är förändringen i energi dividerad med förändringen i tid kan jag använda min effektberäkning för att hitta den tid (Δt) som det tar att röra sig en liten bit uppåt:

Varför använder jag ett kort avstånd? Det kommer snart att bli klart. Låt oss först göra en snabb kontroll: Anta att människan har en massa på 75 kg (165 pund) och en effekt på 200 watt. Hur lång tid skulle det ta att förflytta sig 1 meter upp? Med dessa siffror får jag en tid på 3,675 sekunder.

Verkar det för lång tid? Ja och nej. Ja, det är sant att du kan förflytta dig upp 1 meter i höjd på några trappor på, typ, 1 sekund. Men du skulle då använda betydligt mer än 200 watt i kraft. Tänk dig att försöka hålla den takten i sex timmar i sträck. Ja, så det här uttrycket ser bra ut.

Hantering av förändrad gravitation

Kan vi bara göra samma sak för hela resan till månen? Tyvärr inte. Problemet är den där g-faktorn. Det kan kännas som om gravitationen inte förändras när du klättrar uppför några trappor, men det beror bara på att du vek ner dig innan du verkligen kom någonstans. Gravitationsfältet försvagas när avståndet från jordens centrum ökar. Vi kan hitta gravitationsfältets (vektor)värde med följande ekvation:

I det här diagrammet kan vi, om du är den där grå pricken ute i rymden, beräkna gravitationskraften på den punkten med hjälp av ekvationen till höger. G är en universell gravitationskonstant, ME är jordens massa och r är en vektor från jordens centrum till dig.

Men vänta! Det är inte bara jorden som har gravitation. Månen har det också, så jag måste lägga till ytterligare en term till min ekvation. Låt oss säga att månen har en massa på mm och att avståndet från jorden till månen är R. Nu kan jag beräkna det totala gravitationsfältet:

Jag fuskar på sätt och vis genom att göra komponenten av g på grund av jorden positiv, men på så sätt stämmer det överens med värdet på jordens yta från min tidigare beräkning. Här är en plott av storleken på detta gravitationsfält som går från jorden till månen. (Här är koden.)

Förutom på jorden är gravitationsfältet 9.8 N/kg (det är bra). På månens yta är gravitationsfältet i motsatt riktning med en magnitud på 1,6 N/kg. Det stämmer också: Månens gravitationsfältstyrka är ungefär en sjättedel av den på jorden.

Men titta: Under större delen av resan är effekterna av gravitationen inte noll, men de är ganska små. Det skulle vara mödosamt att komma igång, men när du väl kommit upp till ungefär, oh, 10 000 miles, är jordens gravitationskraft bara 10 procent av vad den är på marken. Det kan tyckas långt, men kom ihåg att det är 240 000 mil till månen. Och efter det kan du verkligen öka farten. Slutligen, i slutet, är det en lätt nedstigning till månens yta. Kanske lite för lätt – mer om det om en minut.

Din beräknade ankomsttid

När jag nu har ett uttryck för gravitationsfältet kan jag upprepa min beräkning av restiden baserat på människans effekt – den här gången genom att räkna om g för varje litet steg längs vägen. Här är vad jag får för den tillryggalagda sträckan som en funktion av tiden. Det är inte hela resan, bara fram till den punkt där färden övergår till ”nedförsbacke”. (Här är koden.)