Metoden för rot-summa i kvadrat (RSS) är en statistisk metod för toleransanalys.
I många fall ligger de faktiska dimensionerna för de enskilda delarna nära toleransområdets mitt och det finns mycket få delar med faktiska dimensioner nära toleransgränserna. Detta förutsätter naturligtvis att delarna oftast är centrerade och ligger inom toleransområdet.
RSS förutsätter att normalfördelningen beskriver variationen av dimensionerna. Den klockformade kurvan är symmetrisk och beskrivs fullt ut med två parametrar, medelvärdet μ och standardavvikelsen σ.
Den avvikelser, inte standardavvikelserna, är additiva och ger en uppskattning av den kombinerade delen variation. Resultatet av att addera medelvärdena och ta summakvadratet av standardavvikelserna ger en uppskattning av toleransstapelns normalfördelning. Formeln för att kombinera stackens standardavvikelser är
$$$ \large\displaystyle {{\sigma }_{sys}}}=\sqrt{\sum\nolimits_{i=1}^{n}{\sigma _{i}^{2}}}}$$$
Varvid σi är standardavvikelsen för den i:e delen,
Och n är antalet delar i stapeln,
Och σsys är stackens standardavvikelse.
Normalfördelningen har den egenskapen att ungefär 68,2 % av värdena ligger inom en standardavvikelse från medelvärdet. Likaså 95,4 % inom 2 standardavvikelser och 99,7 % inom 3 standardavvikelser.
Enkel exempel
Med samma exempel som med värsta fall-metoden har vi fem plattor som var och en kommer att ha olika dimensioner. För varje given uppsättning av fem känner vi inte till de fem individuella dimensionerna, men vi kan ändå uppskatta vad dessa dimensioner kommer att vara med hjälp av statistik.
I genomsnitt är plåtarna 25 mm tjocka. Och om vi antar att varje del kommer att vara något annorlunda än genomsnittsvärdet och att normalfördelningen beskriver variationen, måste vi sedan uppskatta standardavvikelsen för delarnas tjocklek.
För det här exemplet mäter vi 30 plattor och beräknar standardavvikelsen. Om vi finner att standardavvikelsen är 0,33 mm vet vi att de flesta delar kommer att ha mått inom toleransen 0,99 mm om delarna följer en normalfördelning (mer om hur man kontrollerar detta antagande senare). Detta är vår uppskattning av hur delarnas tjocklek faktiskt varierar.
Vid stapling av fem block är den genomsnittliga tjockleken 5 gånger medeltjockleken eller 125 mm.
Vi förväntar oss att ungefär 99,7 % av staplarna av fem block kommer att ha en sammanlagd tjocklek inom intervallet plus eller minus 3 standardavvikelser av de sammanlagda plåtarna. För att kombinera dem använder vi formeln för att addera avvikelserna och konvertera tillbaka till standardavvikelse med en kvadratrot.
I detta fall adderar vi de fem avvikelserna, 0.332, och tar kvadratroten av denna summa.
$$$ \large\displaystyle {{\sigma }_{sys}}}=\sqrt{\sum\nolimits_{i=1}^{5}{0.33_{i}^{2}}}}=0.7379$$
Och eftersom ungefär 99.7 % av värdena ligger inom +/- 3σ, bör intervallet av kombinerade tjockleksvärden för stapeln av fem plattor ligga inom 125 mm +/- (3 x 0,7379 mm eller 2,2137 mm) eller de flesta falla mellan 122,79 mm och 127,21 mm.
För att uppskatta antalet sammansättningar som ligger utanför den önskade toleransen kan vi använda systemets normalfördelningsvärden, i det här fallet är medelvärdet, μ, 125, och standardavvikelsen, σ, är 0,7379. I Excell använder du funktionen NORMDIST. I allmänhet konstrueras cellen på följande sätt:
=1-(NORMDIST(Mean+Tolerance, Mean, σsys)-0.5)*2
Varvid medelvärdet är av de kombinerade medelvärdena för de delar som är involverade i stapeln. I det här exemplet är systemets medelvärde 125 mm.
Toleransen är det önskade värdet, i det här exemplet antar vi att vi vill att den totala stapeln ska ligga inom 2 mm från medelvärdet, eller en tolerans på 2.
σsys är standardavvikelsen för de kombinerade delarna som hittas genom att använda rotsumman av de kvadratformade standardavvikelserna för de inblandade delarna.
Vi subtraherar 0.5 för att hitta den ensidiga sannolikheten för att resultatet ligger under maxvärdet (medelvärde plus tolerans), och multiplicerar den resulterande sannolikheten med 2 för att hitta chansen att den slutliga sammansättningen ligger antingen över eller under den önskade toleransen.
I det här exemplet, för en tolerans på 2 mm, skulle vi förvänta oss att 99,33 % av sammansättningarna har en tjocklek som ligger inom 125 mm+/-2 mm. Detta innebär att vi bör förvänta oss att en montering av cirka 300 kommer att resultera i en tjocklek som antingen är tunnare än 123 mm eller tjockare än 127 mm. Genom att variera toleransen i beräkningen kan vi uppskatta andelen skrot eller fel och jämföra kostnaden för skrot/fel med kostnaden för snävare toleranser för enskilda delar.
Det bifogade kalkylbladet visar detta exempel som utarbetats med hjälp av ovanstående tillvägagångssätt. Se RSS-bladet. exempel på toleransanalys
Bästa metoder och antaganden
Antagandet om normalfördelning bygger på att processvariationen har många små störningar som i allmänhet adderas för att skapa den slutliga dimensionen. Det är bäst att faktiskt mäta cirka 30 prover för att uppskatta medelvärdet och standardavvikelsen.
När det inte är möjligt att samla in mätningar är det ett konservativt utgångsantagande att anta att delarna kommer att ha dimensioner som är centrerade inom toleransområdet och att de har plus eller minus tre standardavvikelser över toleransområdet. Detta förutsätter naturligtvis att processen för skapande av delar kan skapa 99,7 % av delarna inom toleransspecifikationerna.
Om du mäter mindre än 30 delar för att uppskatta standardavvikelsen, se till att du använder formeln för standardavvikelse.
$$$ \large\displaystyle \sigma =\sqrt{\frac{\sum\nolimits_{i=1}^{N}{{{{\left( {{x}_{i}}}-\bar{x} \right)}^{2}}}}{N-1}}}$$$
Varvid N är antalet prover,
xi är den i:e mätningen,
och x̄ är provets medelvärde.
Relaterat:
Worst Case Tolerance Analysis (artikel)
Variance (artikel)
Process Capability (artikel)
Den här snabba introduktionen till tre statistiska analysmetoder gör det möjligt för dig att snabbt bestämma eller bedöma toleranser för delar. Dessutom får du veta varför toleranser är avgörande för att uppnå en tillförlitlig produkt eller ett tillförlitligt system.
Vänligen logga in med din webbplatsregistrering för att omedelbart ladda ner den här e-boken som innehåller stegvisa exempel och information om de data du behöver för att komma igång idag.