Vad är noll gånger oändligheten lika med?

Till en början kanske du tror att noll gånger oändligheten är lika med noll. När allt kommer omkring är noll gånger vilket tal som helst lika med noll, men oändligheten är inte ett tal.
Logiken säger att noll multiplicerat med sig själv, oavsett hur många gånger, alltid är lika med noll. Jag ska dock bevisa att detta svar inte är helt korrekt när det gäller oändligheten.

Först ska jag definiera detta axiom att varje tal dividerat med oändligheten är lika med noll:

0 =	c ∞

Varvid c är ett valfritt verkligt tal.
Någon påpekade att detta axiom är felaktigt. Man hävdar att alla reella tal dividerade med oändligheten bör vara lika med 0,000..1. 0,000..1 är lika med noll av samma anledning som 1 är lika med 0,999… Ta en titt på dessa bevis för mer information. Alla reella tal dividerade med oändligheten är dock lika med odefinierat, eftersom man aldrig kan sluta dela något i oändligt många delar. Därför är axiomet ovan falskt.
Så låt oss bevisa vad noll gånger oändligheten är lika med:

y = 0 * ∞

Det första steget är att ersätta noll med axiomet:

y =	c ∞	* ∞

Därför, när oändligheterna upphäver varandra får vi:

y = c

Två av mina vänner har just bevisat att oändlighet dividerat med oändlighet INTE är lika med ett, och därför fungerar inte mitt bevis. Om du är intresserad, här är beviset för att oändlighet dividerat med oändlighet inte är lika med ett. När något tal (inklusive noll) multipliceras med oändligheten blir resultatet alltid odefinierat. Därför är noll gånger oändligheten odefinierat.
Detta kan skrivas om som:

0 * ∞ = c

Noll gånger oändligheten är alltså ett odefinierat verkligt tal. Detta är definitionen av odefinierat. Därför är noll gånger oändligheten odefinierat.
Ett annat sätt att se på detta är att ingen någonsin kan sluta multiplicera noll gånger oändligheten, därför kommer svaret alltid att vara odefinierat. Även om logiken dikterar att svaret aldrig inte kommer att vara noll, kommer detta svar aldrig att nås. Att försöka multiplicera noll gånger oändligheten är därför odefinierat.

av Phil for Humanity
den 21/12/2006