Naprężenia w cylindrze

Założenie o cienkich ścianachEdit

Aby założenie o cienkich ścianach było ważne, naczynie musi mieć grubość ściany nie większą niż około jedna dziesiąta (często określana jako Średnica / t > 20) jego promienia. Pozwala to na traktowanie ścianki jako powierzchni, a następnie zastosowanie równania Younga-Laplace’a do oszacowania naprężenia obwodowego wywołanego ciśnieniem wewnętrznym w cienkościennym cylindrycznym zbiorniku ciśnieniowym:

σ θ = P r t {{displaystyle \sigma _{theta }={dfrac {Pr}{t}}}}}.

sigma _{theta }={{dfrac {Pr}{t}}}

(dla cylindra) σ θ = P r 2 t {{displaystyle \sigma _{theta }={{dfrac {Pr}{2t}}} } }

\sigma _{theta }={dfrac {Pr}{2t}}}

(dla kuli)

gdzie

  • P jest ciśnieniem wewn. ciśnienie wewnętrzne
  • t jest grubością ścianki
  • r jest średnim promieniem cylindra
  • σ θ {displaystyle \sigma _{theta }}!}
    sigma _{theta }!

    jest naprężeniem obręczy.

Równanie naprężenia obręczy dla cienkich powłok jest również w przybliżeniu ważne dla naczyń sferycznych, w tym komórek roślinnych i bakterii, w których wewnętrzne ciśnienie turgorowe może osiągnąć kilka atmosfer. W praktycznych zastosowaniach inżynierskich dla cylindrów (rur i przewodów), naprężenie obręczy jest często przekształcane na ciśnienie i nazywane jest wzorem Barlowa.

Jednostki systemu calowo-funtowo-sekundowego (IPS) dla P to funty-siła na cal kwadratowy (psi). Jednostkami t i d są cale (in).Jednostkami SI dla P są paskale (Pa), natomiast t i d=2r są w metrach (m).

Gdy naczynie ma zamknięte końce, ciśnienie wewnętrzne działa na nie w celu wytworzenia siły wzdłuż osi cylindra. Siłę tę nazywamy naprężeniem osiowym i jest ona zwykle mniejsza od naprężenia obwodowego.

σ z = F A = P d 2 ( d + 2 t ) 2 – d 2 {{displaystyle \sigma _{z}={dfrac {F}{A}}={dfrac {Pd^{2}}{(d+2t)^{2}-d^{2}}}}}}}.

sigma _{z}={dfrac {F}{A}}={dfrac {Pd^{2}}{(d+2t)^{2}-d^{2}}

Chociaż można to przybliżyć do

σ z = P r 2 t {{displaystyle \sigma _{z}={dfrac {Pr}{2t}}}.

\sigma _{z}={\dfrac {Pr}{2t}}\

Istnieje również naprężenie radialne σ r {displaystyle \sigma _{z}={dfrac {Pr}{2t}}}.

, które powstają prostopadle do powierzchni i mogą być oszacowane w cienkościennych cylindrach jako: σ r = - P { {displaystyle \sigma _{r}={-P}} }{displaystyle {sigma _{r}={-P}}}

Jednakże w założeniu cienkościennym stosunek r t {{displaystyle {dfrac {{r}{t}}}}

{displaystyle {{displayrac {r}{t}}}}

jest duży, więc w większości przypadków składowa ta jest uważana za pomijalną w porównaniu z naprężeniami obwodowymi i osiowymi.

Naczynia grubościenneEdit

Gdy badany walec ma r a d i u s / t h i c k n e s {displaystyle radius/thickness}

{displaystyle radius/thickness}

stosunek mniejszy niż 10 (często podawany jako d i a m e t e r / t h i c k n e s < 20 {{displaystyle diameter/thickness<20}

{displaystyle diameter/thickness20}

) równania walca cienkościennego przestają obowiązywać, ponieważ naprężenia różnią się znacznie między powierzchniami wewnętrznymi i zewnętrznymi, a naprężenia ścinające w przekroju poprzecznym nie mogą być zaniedbywane.

Te naprężenia i odkształcenia można obliczyć za pomocą równań Lamégo, zestawu równań opracowanego przez francuskiego matematyka Gabriela Lamégo.

σ r = A – B r 2 {{displaystyle \sigma _{r}=A-{dfrac {B}{r^{2}}}}}}}.

sigma _{r}=A-{dfrac {B}{r^{2}}}}}

σ θ = A + B r 2 {displaystyle \sigma _{theta }=A+{{dfrac {B}{r^{2}}}}} } }

\sigma _{\theta }=A+{\dfrac {B}{r^{2}}}\

where:

A {\displaystyle A}

A

and B {\displaystyle B}

B

are constants of integration, which may be discovered from the boundary conditions r {\displaystyle r}

r

is the radius at the point of interest (e.g., at the inside or outside walls)

A {\displaystyle A}

A

and B {\displaystyle B}

B

may be found by inspection of the boundary conditions. For example, the simplest case is a solid cylinder:

if R i = 0 {\displaystyle R_{i}=0}

{\displaystyle R_{i}=0}

then B = 0 {\displaystyle B=0}

B=0

and a solid cylinder cannot have an internal pressure so A = P o {\displaystyle A=P_{o}}

A=P_{o}

Ponieważ dla cylindrów grubościennych stosunek r t {displaystyle {dfrac {r}{t}}}

{displaystyle {{displayrac {r}{t}}}}

jest mniejszy niż 10, naprężenia promieniowe, w proporcji do innych naprężeń, stają się nieistotne (tj. P nie jest już dużo, dużo mniejsze niż Pr/t i Pr/2t), a więc grubość ścianki staje się głównym czynnikiem branym pod uwagę przy projektowaniu (Harvey, 1974, s. 57).

W teorii zbiorników ciśnieniowych, każdy dany element ściany jest oceniany w trójosiowym układzie naprężeń, z trzema głównymi naprężeniami: obwodowym, wzdłużnym i promieniowym. Dlatego z definicji nie istnieją naprężenia ścinające w płaszczyznach poprzecznych, stycznych i promieniowych.

W cylindrach grubościennych maksymalne naprężenie ścinające w dowolnym punkcie jest określone przez połowę algebraicznej różnicy pomiędzy naprężeniami maksymalnymi i minimalnymi, która jest zatem równa połowie różnicy pomiędzy naprężeniami obwodowymi i promieniowymi. Naprężenie ścinające osiąga maksimum na powierzchni wewnętrznej, co jest istotne, ponieważ służy jako kryterium zniszczenia, ponieważ dobrze koreluje z rzeczywistymi próbami rozerwania grubych cylindrów (Harvey, 1974, str. 57).

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *