Vékonyfalú feltevésSzerkesztés
A vékonyfalú feltevés érvényességéhez az edény falvastagsága nem lehet több, mint az edény sugarának körülbelül egytizede (gyakran átmérő / t > 20). Ez lehetővé teszi, hogy a falat felületként kezeljük, és ezt követően a Young-Laplace-egyenletet használjuk a vékony falú hengeres nyomástartó edényre ható belső nyomás által létrehozott körfeszültség becslésére:
σ θ = P r t {\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{t}}\}\ }
(henger esetén) σ θ = P r 2 t {\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{2t}}}\ }
(gömbre)
hol
- P a belső nyomás
- t a falvastagság
- r a henger átlagos sugara
- σ θ {\displaystyle \sigma _{\theta }\!}
a körfeszültség.
A vékony héjakra vonatkozó körfeszültségi egyenlet megközelítőleg érvényes a gömb alakú edényekre is, beleértve a növényi sejteket és baktériumokat, amelyekben a belső turgornyomás több atmoszférát is elérhet. A hengerekre (csövekre és csővezetékekre) vonatkozó gyakorlati mérnöki alkalmazásokban a karikafeszültséget gyakran átrendezik a nyomásra, és Barlow-formulának nevezik.
A P mértékegységei az IPS-rendszerben (Inch-pound-second system) font-erő per négyzetcentiméter (psi). A t és a d mértékegységei hüvelyk (in), a P SI mértékegységei pascal (Pa), míg a t és a d=2r mértékegysége méter (m).
Ha az edénynek zárt végei vannak, a belső nyomás úgy hat rájuk, hogy a henger tengelye mentén erő alakul ki. Ezt nevezzük axiális feszültségnek, és általában kisebb, mint a körfeszültség.
σ z = F A = P d 2 ( d + 2 t ) 2 – d 2 {\displaystyle \sigma _{z}={\dfrac {F}{A}}={\dfrac {Pd^{2}}}{(d+2t)^{2}-d^{2}}}\ }\ }
Ez közelíthető
σ z = P r 2 t {\displaystyle \sigma _{z}={\dfrac {Pr}{2t}}\ }\ }
Ez a sugárirányú feszültség σ r {\displaystyle \sigma _{r}\ }
amely a felületre merőlegesen alakul ki, és vékonyfalú hengerekben a következőképpen becsülhető: σ r = – P {\displaystyle \sigma _{r}={-P}\ }
Vékonyfalú feltevés esetén azonban az r t {\displaystyle {\dfrac {r}{t}}}\ } arány {\displaystyle {\dfrac {r}{t}}\ }
nagy, ezért a legtöbb esetben ez a komponens elhanyagolhatónak tekinthető a kör- és tengelyfeszültségekhez képest.
Vastagfalú edényekSzerkesztés
Ha a vizsgálandó henger {\displaystyle sugár/vastagság} {\displaystyle sugár/vastagság}
aránya kisebb, mint 10 (gyakran idézik d i a m e t e r / t h i c k n e s s < 20 {\displaystyle diameter/thickness<20}}
) a vékonyfalú henger egyenletei már nem érvényesek, mivel a feszültségek jelentősen változnak a belső és a külső felületek között, és a keresztmetszeten keresztüli nyírófeszültségek már nem elhanyagolhatók.
Ezek a feszültségek és alakváltozások a Lamé-egyenletek segítségével számíthatóak ki, amely egy Gabriel Lamé francia matematikus által kidolgozott egyenletrendszer.
σ r = A – B r 2 {\displaystyle \sigma _{r}=A-{\dfrac {B}{r^{2}}}}\ }\ }
σ θ = A + B r 2 {\displaystyle \sigma _{\theta }=A+{\dfrac {B}{r^{2}}}}\ }
where:
A {\displaystyle A}
and B {\displaystyle B}
are constants of integration, which may be discovered from the boundary conditions r {\displaystyle r}
is the radius at the point of interest (e.g., at the inside or outside walls)
A {\displaystyle A}
and B {\displaystyle B}
may be found by inspection of the boundary conditions. For example, the simplest case is a solid cylinder:
if R i = 0 {\displaystyle R_{i}=0}
then B = 0 {\displaystyle B=0}
and a solid cylinder cannot have an internal pressure so A = P o {\displaystyle A=P_{o}}
Mivel vastagfalú hengereknél az r t {\displaystyle {\dfrac {r}{t}}\ }
kisebb, mint 10, a sugárirányú feszültség a többi feszültséggel arányosan nem elhanyagolhatóvá válik (azaz P már nem sokkal, de sokkal kisebb, mint Pr/t és Pr/2t), és így a falvastagság a tervezés során fontos szempont lesz (Harvey, 1974, 57. o.).
A nyomástartó edények elméletében a fal bármely adott elemét egy háromtengelyű feszültségrendszerben értékelik, ahol a három fő feszültség a körfeszültség, a hosszirányú és a sugárirányú feszültség. Ezért definíció szerint nincsenek nyírófeszültségek a keresztirányú, érintőleges vagy radiális síkokban.
A vastagfalú hengerekben a maximális nyírófeszültséget bármely ponton a maximális és minimális feszültségek közötti algebrai különbség fele adja, ami tehát egyenlő a kör- és radiális feszültségek közötti különbség felével. A nyírófeszültség a belső felületen éri el a maximumot, ami azért jelentős, mert a tönkremenetel kritériumaként szolgál, mivel jól korrelál a vastag hengerek tényleges szakítóvizsgálataival (Harvey, 1974, 57. o.).