Předpoklad tenkostěnnostiUpravit
Aby platil předpoklad tenkostěnnosti, musí mít nádoba tloušťku stěny nejvýše přibližně jednu desetinu (často se uvádí jako Průměr / t > 20) svého poloměru. To umožňuje považovat stěnu za povrch a následně použít Youngovu-Laplaceovu rovnici pro odhad obručového napětí vytvořeného vnitřním tlakem na tenkostěnné válcové tlakové nádobě:
σ θ = P r t {\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{t}}\ }
(pro válec) σ θ = P r 2 t {\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{2t}}\ }
(pro kouli)
kde
- P je vnitřek tlak
- t je tloušťka stěny
- r je střední poloměr válce
- σ θ {\displaystyle \sigma _{\theta }\!}
je obručové napětí.
Rovnice obručového napětí pro tenké skořepiny platí přibližně i pro kulovité nádoby, včetně rostlinných buněk a bakterií, v nichž může vnitřní turgorový tlak dosahovat několika atmosfér. V praktických technických aplikacích pro válce (trubky a potrubí) se obručové napětí často převádí na tlak a nazývá se Barlowův vzorec.
Jednotkami pro P v palcové soustavě (IPS) jsou libry síly na čtvereční palec (psi). Jednotky pro t a d jsou v palcích (in), jednotky SI pro P jsou v pascalech (Pa), zatímco t a d=2r jsou v metrech (m).
Pokud má nádoba uzavřené konce, působí na ně vnitřní tlak a vyvíjí sílu podél osy válce. Tato síla se nazývá axiální napětí a je obvykle menší než obručové napětí.
σ z = F A = P d 2 ( d + 2 t ) 2 – d 2 {\displaystyle \sigma _{z}={\dfrac {F}{A}}={\dfrac {Pd^{2}}{(d+2t)^{2}-d^{2}}}}}\ }
Toto lze aproximovat na
σ z = P r 2 t {\displaystyle \sigma _{z}={\dfrac {Pr}{2t}}\ }
Existuje také radiální napětí σ r {\displaystyle \sigma _{r}\ }
které se vyvíjí kolmo k povrchu a lze ho odhadnout u tenkostěnných válců jako: σ r = – P {\displaystyle \sigma _{r}={-P}\ }
V tenkostěnném předpokladu je však poměr r t {\displaystyle {\dfrac {r}{t}}\ }
je velký, takže ve většině případů se tato složka považuje za zanedbatelnou ve srovnání s obručovými a osovými napětími.
Tlustostěnné nádobyEdit
Když má zkoumaný válec r a d i u s / tloušťku {\displaystyle poloměr/tloušťka}.
poměr menší než 10 (často se uvádí jako d i a m e t r / tloušťka < 20 {\displaystyle průměr/tloušťka<20}.
) rovnice pro tenkostěnný válec již neplatí, protože napětí se výrazně liší mezi vnitřním a vnějším povrchem a smykové napětí v průřezu již nelze zanedbat.
Tato napětí a deformace lze vypočítat pomocí Laméových rovnic, souboru rovnic, které vypracoval francouzský matematik Gabriel Lamé.
σ r = A – B r 2 {\displaystyle \sigma _{r}=A-{\dfrac {B}{r^{2}}}}\ }
σ θ = A + B r 2 {\displaystyle \sigma _{\theta }=A+{\dfrac {B}{r^{2}}}} }
where:
A {\displaystyle A}
and B {\displaystyle B}
are constants of integration, which may be discovered from the boundary conditions r {\displaystyle r}
is the radius at the point of interest (e.g., at the inside or outside walls)
A {\displaystyle A}
and B {\displaystyle B}
may be found by inspection of the boundary conditions. For example, the simplest case is a solid cylinder:
if R i = 0 {\displaystyle R_{i}=0}
then B = 0 {\displaystyle B=0}
and a solid cylinder cannot have an internal pressure so A = P o {\displaystyle A=P_{o}}
Pro tlustostěnné válce platí, že poměr r t {\displaystyle {\dfrac {r}{t}}}\ }
je menší než 10, radiální napětí se v poměru k ostatním napětím stává nezanedbatelným (tj. P již není mnohem, mnohem menší než Pr/t a Pr/2t), a tak se tloušťka stěny stává hlavním hlediskem pro návrh (Harvey, 1974, s. 57).
V teorii tlakových nádob se každý daný prvek stěny posuzuje v tříosém systému napětí, přičemž tři hlavní napětí jsou obručová, podélná a radiální. Z definice tedy neexistují žádná smyková napětí v příčné, tečné ani radiální rovině.
U tlustostěnných válců je maximální smykové napětí v libovolném bodě dáno polovinou algebraického rozdílu mezi maximálním a minimálním napětím, který je tedy roven polovině rozdílu mezi obručovými a radiálními napětími. Smykové napětí dosahuje maxima na vnitřním povrchu, což je významné, protože slouží jako kritérium porušení, protože dobře koreluje se skutečnými zkouškami prasknutí tlustých válců (Harvey, 1974, s. 57).