Założenie o cienkich ścianachEdit
Aby założenie o cienkich ścianach było ważne, naczynie musi mieć grubość ściany nie większą niż około jedna dziesiąta (często określana jako Średnica / t > 20) jego promienia. Pozwala to na traktowanie ścianki jako powierzchni, a następnie zastosowanie równania Younga-Laplace’a do oszacowania naprężenia obwodowego wywołanego ciśnieniem wewnętrznym w cienkościennym cylindrycznym zbiorniku ciśnieniowym:
σ θ = P r t {{displaystyle \sigma _{theta }={dfrac {Pr}{t}}}}}.
(dla cylindra) σ θ = P r 2 t {{displaystyle \sigma _{theta }={{dfrac {Pr}{2t}}} } }
(dla kuli)
gdzie
- P jest ciśnieniem wewn. ciśnienie wewnętrzne
- t jest grubością ścianki
- r jest średnim promieniem cylindra
- σ θ {displaystyle \sigma _{theta }}!}
jest naprężeniem obręczy.
Równanie naprężenia obręczy dla cienkich powłok jest również w przybliżeniu ważne dla naczyń sferycznych, w tym komórek roślinnych i bakterii, w których wewnętrzne ciśnienie turgorowe może osiągnąć kilka atmosfer. W praktycznych zastosowaniach inżynierskich dla cylindrów (rur i przewodów), naprężenie obręczy jest często przekształcane na ciśnienie i nazywane jest wzorem Barlowa.
Jednostki systemu calowo-funtowo-sekundowego (IPS) dla P to funty-siła na cal kwadratowy (psi). Jednostkami t i d są cale (in).Jednostkami SI dla P są paskale (Pa), natomiast t i d=2r są w metrach (m).
Gdy naczynie ma zamknięte końce, ciśnienie wewnętrzne działa na nie w celu wytworzenia siły wzdłuż osi cylindra. Siłę tę nazywamy naprężeniem osiowym i jest ona zwykle mniejsza od naprężenia obwodowego.
σ z = F A = P d 2 ( d + 2 t ) 2 – d 2 {{displaystyle \sigma _{z}={dfrac {F}{A}}={dfrac {Pd^{2}}{(d+2t)^{2}-d^{2}}}}}}}.
Chociaż można to przybliżyć do
σ z = P r 2 t {{displaystyle \sigma _{z}={dfrac {Pr}{2t}}}.
Istnieje również naprężenie radialne σ r {displaystyle \sigma _{z}={dfrac {Pr}{2t}}}.
Jednakże w założeniu cienkościennym stosunek r t {{displaystyle {dfrac {{r}{t}}}}
jest duży, więc w większości przypadków składowa ta jest uważana za pomijalną w porównaniu z naprężeniami obwodowymi i osiowymi.
Naczynia grubościenneEdit
Gdy badany walec ma r a d i u s / t h i c k n e s {displaystyle radius/thickness}
stosunek mniejszy niż 10 (często podawany jako d i a m e t e r / t h i c k n e s < 20 {{displaystyle diameter/thickness<20}
) równania walca cienkościennego przestają obowiązywać, ponieważ naprężenia różnią się znacznie między powierzchniami wewnętrznymi i zewnętrznymi, a naprężenia ścinające w przekroju poprzecznym nie mogą być zaniedbywane.
Te naprężenia i odkształcenia można obliczyć za pomocą równań Lamégo, zestawu równań opracowanego przez francuskiego matematyka Gabriela Lamégo.
σ r = A – B r 2 {{displaystyle \sigma _{r}=A-{dfrac {B}{r^{2}}}}}}}.
σ θ = A + B r 2 {displaystyle \sigma _{theta }=A+{{dfrac {B}{r^{2}}}}} } }
where:
A {\displaystyle A}
and B {\displaystyle B}
are constants of integration, which may be discovered from the boundary conditions r {\displaystyle r}
is the radius at the point of interest (e.g., at the inside or outside walls)
A {\displaystyle A}
and B {\displaystyle B}
may be found by inspection of the boundary conditions. For example, the simplest case is a solid cylinder:
if R i = 0 {\displaystyle R_{i}=0}
then B = 0 {\displaystyle B=0}
and a solid cylinder cannot have an internal pressure so A = P o {\displaystyle A=P_{o}}
Ponieważ dla cylindrów grubościennych stosunek r t {displaystyle {dfrac {r}{t}}}
jest mniejszy niż 10, naprężenia promieniowe, w proporcji do innych naprężeń, stają się nieistotne (tj. P nie jest już dużo, dużo mniejsze niż Pr/t i Pr/2t), a więc grubość ścianki staje się głównym czynnikiem branym pod uwagę przy projektowaniu (Harvey, 1974, s. 57).
W teorii zbiorników ciśnieniowych, każdy dany element ściany jest oceniany w trójosiowym układzie naprężeń, z trzema głównymi naprężeniami: obwodowym, wzdłużnym i promieniowym. Dlatego z definicji nie istnieją naprężenia ścinające w płaszczyznach poprzecznych, stycznych i promieniowych.
W cylindrach grubościennych maksymalne naprężenie ścinające w dowolnym punkcie jest określone przez połowę algebraicznej różnicy pomiędzy naprężeniami maksymalnymi i minimalnymi, która jest zatem równa połowie różnicy pomiędzy naprężeniami obwodowymi i promieniowymi. Naprężenie ścinające osiąga maksimum na powierzchni wewnętrznej, co jest istotne, ponieważ służy jako kryterium zniszczenia, ponieważ dobrze koreluje z rzeczywistymi próbami rozerwania grubych cylindrów (Harvey, 1974, str. 57).