Ipoteza pereților subțiriEdit
Pentru ca ipoteza pereților subțiri să fie valabilă, vasul trebuie să aibă o grosime a peretelui de cel mult o zecime (adesea citată ca Diametru / t > 20) din raza sa. Acest lucru permite tratarea peretelui ca pe o suprafață și, ulterior, utilizarea ecuației lui Young-Laplace pentru estimarea tensiunii inelare create de o presiune internă pe un vas de presiune cilindric cu pereți subțiri:
σ θ = P r t {\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{t}}}\ }
(pentru un cilindru) σ θ = P r 2 t {\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{2t}}}\ }
(pentru o sferă)
unde
- P este valoarea internă presiune
- t este grosimea peretelui
- r este raza medie a cilindrului
- σ θ {\displaystyle \sigma _{\theta }\!}
este tensiunea circulară.
Ecuația tensiunii circulare pentru cochilii subțiri este, de asemenea, aproximativ valabilă pentru vasele sferice, inclusiv pentru celulele vegetale și bacteriile în care presiunea internă de turgescență poate atinge mai multe atmosfere. În aplicațiile practice de inginerie pentru cilindri (țevi și tuburi), tensiunea inelară este adesea rearanjată pentru presiune și se numește formula lui Barlow.
Unitățile de măsură pentru P în sistemul IPS (Inch-pound-pound-second system) sunt livre-forță pe inch pătrat (psi). Unitățile pentru t, și d sunt inch (in). unitățile SI pentru P sunt pascals (Pa), în timp ce t și d=2r sunt în metri (m).
Când vasul are capetele închise, presiunea internă acționează asupra lor pentru a dezvolta o forță de-a lungul axei cilindrului. Aceasta este cunoscută sub numele de tensiune axială și este, de obicei, mai mică decât tensiunea inelară.
σ z = F A = P d 2 ( d + 2 t ) 2 – d 2 {\displaystyle \sigma _{z}={\dfrac {F}{A}}={\dfrac {Pd^{2}}{(d+2t)^{2}-d^{2}}}}}\ }
Chiar dacă aceasta poate fi aproximată la
σ z = P r 2 t {\displaystyle \sigma _{z}={\dfrac {Pr}{2t}}}\ }
Există, de asemenea, o tensiune radială σ r {\displaystyle \sigma _{r}\ }
care se dezvoltă perpendicular pe suprafață și care poate fi estimată în cazul cilindrilor cu pereți subțiri astfel: σ r = – P {\displaystyle \sigma _{r}={-P}\ }
Cu toate acestea, în ipoteza cu pereți subțiri, raportul r t {\displaystyle {\dfrac {r}{t}}}\ }
este mare, astfel încât, în majoritatea cazurilor, această componentă este considerată neglijabilă în comparație cu tensiunile inelare și axiale.
Recipiente cu pereți groșiEdit
Când cilindrul care urmează să fie studiat are o r a d i u s / t h i c k n e s s {\displaystyle radius/thickness}
raport mai mic de 10 (adesea citat ca d i a m e t e r / t h i c k k n e s s < 20 {\displaystyle diametru/ grosime<20}
) ecuațiile cilindrului cu pereți subțiri nu mai sunt valabile, deoarece tensiunile variază semnificativ între suprafețele interioare și exterioare, iar tensiunea de forfecare prin secțiunea transversală nu mai poate fi neglijată.
Aceste tensiuni și deformații pot fi calculate cu ajutorul ecuațiilor Lamé, un set de ecuații dezvoltate de matematicianul francez Gabriel Lamé.
σ r = A – B r 2 {\displaystyle \sigma _{r}=A-{\dfrac {B}{r^{2}}}\} }
σ θ = A + B r 2 {\displaystyle \sigma _{\theta }=A+{\dfrac {B}{r^{2}}}}\ }
where:
A {\displaystyle A}
and B {\displaystyle B}
are constants of integration, which may be discovered from the boundary conditions r {\displaystyle r}
is the radius at the point of interest (e.g., at the inside or outside walls)
A {\displaystyle A}
and B {\displaystyle B}
may be found by inspection of the boundary conditions. For example, the simplest case is a solid cylinder:
if R i = 0 {\displaystyle R_{i}=0}
then B = 0 {\displaystyle B=0}
and a solid cylinder cannot have an internal pressure so A = P o {\displaystyle A=P_{o}}
Având în vedere că pentru cilindrii cu pereți groși, raportul r t {\displaystyle {\dfrac {r}{t}}\ }
este mai mic de 10, tensiunea radială, proporțional cu celelalte tensiuni, devine neneglijabilă (adică P nu mai este mult, mult mai mică decât Pr/t și Pr/2t), și astfel grosimea peretelui devine un element important de luat în considerare pentru proiectare (Harvey, 1974, pp. 57).
În teoria recipientelor sub presiune, orice element dat al peretelui este evaluat într-un sistem de tensiuni tri-axiale, cele trei tensiuni principale fiind cele inelare, longitudinale și radiale. Prin urmare, prin definiție, nu există tensiuni de forfecare în planurile transversal, tangențial sau radial.
În cilindrii cu pereți groși, tensiunea maximă de forfecare în orice punct este dată de jumătate din diferența algebrică dintre tensiunea maximă și cea minimă, care este, prin urmare, egală cu jumătate din diferența dintre tensiunea inelară și cea radială. Tensiunea de forfecare atinge un maxim la suprafața interioară, ceea ce este semnificativ pentru că servește drept criteriu de cedare, deoarece se corelează bine cu testele reale de rupere a cilindrilor groși (Harvey, 1974, p. 57).
.