DünnwandigkeitsannahmeBearbeiten
Damit die Dünnwandigkeitsannahme gültig ist, darf die Wanddicke des Behälters nicht mehr als ein Zehntel (oft zitiert als Durchmesser / t > 20) seines Radius betragen. Dies ermöglicht es, die Wand als eine Fläche zu behandeln und anschließend die Young-Laplace-Gleichung zur Abschätzung der Ringspannung zu verwenden, die durch einen Innendruck auf einen dünnwandigen zylindrischen Druckbehälter erzeugt wird:
σ θ = P r t {\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{t}}\ }
(für einen Zylinder) σ θ = P r 2 t {\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{2t}} }
(für eine Kugel)
wobei
- P ist der innere Druck
- t ist die Wandstärke
- r ist der mittlere Radius des Zylinders
- σ θ {\displaystyle \sigma _{\theta }\!}
ist die Ringspannung.
Die Ringspannungsgleichung für dünne Schalen gilt näherungsweise auch für kugelförmige Gefäße, einschließlich Pflanzenzellen und Bakterien, in denen der innere Turgordruck mehrere Atmosphären erreichen kann. In praktischen technischen Anwendungen für Zylinder (Rohre und Schläuche) wird die Ringspannung oft für Druck umgestellt und als Barlowsche Formel bezeichnet.
Zoll-Pfund-Sekunden-System (IPS) Einheiten für P sind Pfund-Kraft pro Quadratzoll (psi). SI-Einheiten für P sind Pascal (Pa), während t und d=2r in Metern (m) angegeben sind.
Wenn der Behälter geschlossene Enden hat, wirkt der Innendruck auf sie, um eine Kraft entlang der Achse des Zylinders zu entwickeln. Diese wird als Axialspannung bezeichnet und ist in der Regel geringer als die Umfangsspannung.
σ z = F A = P d 2 ( d + 2 t ) 2 – d 2 {\displaystyle \sigma _{z}={\dfrac {F}{A}}={\dfrac {Pd^{2}}{(d+2t)^{2}-d^{2}}}} }
Dies lässt sich zwar annähern zu
σ z = P r 2 t {\displaystyle \sigma _{z}={\dfrac {Pr}{2t}}\ }
Es gibt auch eine Radialspannung σ r {\displaystyle \sigma _{r}\ }
, die sich senkrecht zur Oberfläche entwickelt und bei dünnwandigen Zylindern geschätzt werden kann als: σ r = – P {\displaystyle \sigma _{r}={-P}\ }
Bei der dünnwandigen Annahme ist jedoch das Verhältnis r t {\displaystyle {\dfrac {r}{t}\ }
groß, so dass diese Komponente in den meisten Fällen im Vergleich zu den Ring- und Axialspannungen als vernachlässigbar angesehen wird.
Dickwandige BehälterBearbeiten
Wenn der zu untersuchende Zylinder einen R a d i u s / T h i c k n e s {\displaystyle Radius/Dicke}
Verhältnis von weniger als 10 (oft zitiert als D i a m e t e r / T h i c k n e s s < 20 {\displaystyle Durchmesser/Dicke<20}
) gelten die Gleichungen für dünnwandige Zylinder nicht mehr, da die Spannungen zwischen Innen- und Außenflächen stark variieren und die Scherspannung durch den Querschnitt nicht mehr vernachlässigt werden kann.
Diese Spannungen und Dehnungen lassen sich mit Hilfe der Lamé-Gleichungen berechnen, einer vom französischen Mathematiker Gabriel Lamé entwickelten Gleichungsreihe.
σ r = A – B r 2 {\displaystyle \sigma _{r}=A-{\dfrac {B}{r^{2}}}\ }
σ θ = A + B r 2 {\displaystyle \sigma _{\theta }=A+{\dfrac {B}{r^{2}}\ }
where:
A {\displaystyle A}
and B {\displaystyle B}
are constants of integration, which may be discovered from the boundary conditions r {\displaystyle r}
is the radius at the point of interest (e.g., at the inside or outside walls)
A {\displaystyle A}
and B {\displaystyle B}
may be found by inspection of the boundary conditions. For example, the simplest case is a solid cylinder:
if R i = 0 {\displaystyle R_{i}=0}
then B = 0 {\displaystyle B=0}
and a solid cylinder cannot have an internal pressure so A = P o {\displaystyle A=P_{o}}
Da bei dickwandigen Zylindern das Verhältnis r t {\displaystyle {\dfrac {r}{t}}\ }
kleiner als 10 ist, wird die Radialspannung im Verhältnis zu den anderen Spannungen nicht mehr vernachlässigbar (d.h. P ist nicht mehr viel, viel kleiner als Pr/t und Pr/2t), und damit wird die Wanddicke zu einer wichtigen Überlegung für die Konstruktion (Harvey, 1974, S. 57).
In der Druckbehältertheorie wird jedes beliebige Wandelement in einem triaxialen Spannungssystem bewertet, wobei die drei Hauptspannungen Ring-, Längs- und Radialspannungen sind. Daher gibt es definitionsgemäß keine Scherspannungen in der Quer-, Tangential- oder Radialebene.
In dickwandigen Zylindern ist die maximale Scherspannung an jedem Punkt durch die Hälfte der algebraischen Differenz zwischen der maximalen und der minimalen Spannung gegeben, die somit gleich der Hälfte der Differenz zwischen Ring- und Radialspannung ist. Die Scherspannung erreicht ein Maximum an der Innenfläche, was von Bedeutung ist, weil es als Versagenskriterium dient, da es gut mit tatsächlichen Bruchversuchen an dicken Zylindern korreliert (Harvey, 1974, S. 57).