Napětí ve válci

Předpoklad tenkostěnnostiUpravit

Aby platil předpoklad tenkostěnnosti, musí mít nádoba tloušťku stěny nejvýše přibližně jednu desetinu (často se uvádí jako Průměr / t > 20) svého poloměru. To umožňuje považovat stěnu za povrch a následně použít Youngovu-Laplaceovu rovnici pro odhad obručového napětí vytvořeného vnitřním tlakem na tenkostěnné válcové tlakové nádobě:

σ θ = P r t {\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{t}}\ }

\sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{t}}\

(pro válec) σ θ = P r 2 t {\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{2t}}\ }

\sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{2t}}\

(pro kouli)

kde

  • P je vnitřek tlak
  • t je tloušťka stěny
  • r je střední poloměr válce
  • σ θ {\displaystyle \sigma _{\theta }\!}
    \sigma _{\theta }\!

    je obručové napětí.

Rovnice obručového napětí pro tenké skořepiny platí přibližně i pro kulovité nádoby, včetně rostlinných buněk a bakterií, v nichž může vnitřní turgorový tlak dosahovat několika atmosfér. V praktických technických aplikacích pro válce (trubky a potrubí) se obručové napětí často převádí na tlak a nazývá se Barlowův vzorec.

Jednotkami pro P v palcové soustavě (IPS) jsou libry síly na čtvereční palec (psi). Jednotky pro t a d jsou v palcích (in), jednotky SI pro P jsou v pascalech (Pa), zatímco t a d=2r jsou v metrech (m).

Pokud má nádoba uzavřené konce, působí na ně vnitřní tlak a vyvíjí sílu podél osy válce. Tato síla se nazývá axiální napětí a je obvykle menší než obručové napětí.

σ z = F A = P d 2 ( d + 2 t ) 2 – d 2 {\displaystyle \sigma _{z}={\dfrac {F}{A}}={\dfrac {Pd^{2}}{(d+2t)^{2}-d^{2}}}}}\ }

\sigma _{z}={\dfrac {F}{A}}={\dfrac {Pd^{2}}{(d+2t)^{2}-d^{2}}}\\

Toto lze aproximovat na

σ z = P r 2 t {\displaystyle \sigma _{z}={\dfrac {Pr}{2t}}\ }

\sigma _{z}={\dfrac {Pr}{2t}}\

Existuje také radiální napětí σ r {\displaystyle \sigma _{r}\ }

\sigma _{r}\

které se vyvíjí kolmo k povrchu a lze ho odhadnout u tenkostěnných válců jako: σ r = – P {\displaystyle \sigma _{r}={-P}\ }

{\displaystyle \sigma _{r}={-P}\ }

V tenkostěnném předpokladu je však poměr r t {\displaystyle {\dfrac {r}{t}}\ }

{\displaystyle {\dfrac {r}{t}}\ }

je velký, takže ve většině případů se tato složka považuje za zanedbatelnou ve srovnání s obručovými a osovými napětími.

Tlustostěnné nádobyEdit

Když má zkoumaný válec r a d i u s / tloušťku {\displaystyle poloměr/tloušťka}.

{\displaystyle poloměr/tloušťka}

poměr menší než 10 (často se uvádí jako d i a m e t r / tloušťka < 20 {\displaystyle průměr/tloušťka<20}.

{\displaystyle průměr/tloušťka20}

) rovnice pro tenkostěnný válec již neplatí, protože napětí se výrazně liší mezi vnitřním a vnějším povrchem a smykové napětí v průřezu již nelze zanedbat.

Tato napětí a deformace lze vypočítat pomocí Laméových rovnic, souboru rovnic, které vypracoval francouzský matematik Gabriel Lamé.

σ r = A – B r 2 {\displaystyle \sigma _{r}=A-{\dfrac {B}{r^{2}}}}\ }

\sigma _{r}=A-{\dfrac {B}{r^{2}}}\

σ θ = A + B r 2 {\displaystyle \sigma _{\theta }=A+{\dfrac {B}{r^{2}}}} }

\sigma _{\theta }=A+{\dfrac {B}{r^{2}}}\

where:

A {\displaystyle A}

A

and B {\displaystyle B}

B

are constants of integration, which may be discovered from the boundary conditions r {\displaystyle r}

r

is the radius at the point of interest (e.g., at the inside or outside walls)

A {\displaystyle A}

A

and B {\displaystyle B}

B

may be found by inspection of the boundary conditions. For example, the simplest case is a solid cylinder:

if R i = 0 {\displaystyle R_{i}=0}

{\displaystyle R_{i}=0}

then B = 0 {\displaystyle B=0}

B=0

and a solid cylinder cannot have an internal pressure so A = P o {\displaystyle A=P_{o}}

A=P_{o}

Pro tlustostěnné válce platí, že poměr r t {\displaystyle {\dfrac {r}{t}}}\ }

{\displaystyle {\dfrac {r}{t}}\ }

je menší než 10, radiální napětí se v poměru k ostatním napětím stává nezanedbatelným (tj. P již není mnohem, mnohem menší než Pr/t a Pr/2t), a tak se tloušťka stěny stává hlavním hlediskem pro návrh (Harvey, 1974, s. 57).

V teorii tlakových nádob se každý daný prvek stěny posuzuje v tříosém systému napětí, přičemž tři hlavní napětí jsou obručová, podélná a radiální. Z definice tedy neexistují žádná smyková napětí v příčné, tečné ani radiální rovině.

U tlustostěnných válců je maximální smykové napětí v libovolném bodě dáno polovinou algebraického rozdílu mezi maximálním a minimálním napětím, který je tedy roven polovině rozdílu mezi obručovými a radiálními napětími. Smykové napětí dosahuje maxima na vnitřním povrchu, což je významné, protože slouží jako kritérium porušení, protože dobře koreluje se skutečnými zkouškami prasknutí tlustých válců (Harvey, 1974, s. 57).

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *