Hypothèse de paroi minceEdit
Pour que l’hypothèse de paroi mince soit valide, le récipient doit avoir une épaisseur de paroi ne dépassant pas environ un dixième (souvent cité comme Diamètre / t > 20) de son rayon. Cela permet de traiter la paroi comme une surface, et par la suite d’utiliser l’équation de Young-Laplace pour estimer la contrainte circonférentielle créée par une pression interne sur un récipient sous pression cylindrique à paroi mince :
σ θ = P r t {\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{t}}\ }.
(pour un cylindre) σ θ = P r 2 t {\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{2t}} }
(pour une sphère)
où
- P est la pression interne interne
- t est l’épaisseur de la paroi
- r est le rayon moyen du cylindre
- σ θ {\displaystyle \sigma _{\theta }\ !}
est la contrainte de cerclage.
L’équation de contrainte de cerclage pour les coquilles minces est également approximativement valable pour les vaisseaux sphériques, notamment les cellules végétales et les bactéries dans lesquelles la pression de turgescence interne peut atteindre plusieurs atmosphères. Dans les applications pratiques d’ingénierie pour les cylindres (tuyaux et tubes), la contrainte de cerclage est souvent réarrangée pour la pression, et est appelée formule de Barlow.
Les unités du système pouce-livre-seconde (IPS) pour P sont des livres-force par pouce carré (psi). Les unités pour t, et d sont des pouces (in).Les unités SI pour P sont des pascals (Pa), tandis que t et d=2r sont en mètres (m).
Lorsque le récipient a des extrémités fermées, la pression interne agit sur elles pour développer une force le long de l’axe du cylindre. Cette force est connue sous le nom de contrainte axiale et est généralement inférieure à la contrainte circonférentielle.
σ z = F A = P d 2 ( d + 2 t ) 2 – d 2 {\displaystyle \sigma _{z}={\dfrac {F}{A}}={\dfrac {Pd^{2}}{(d+2t)^{2}-d^{2}}}\ }.
Bien que cela puisse être approché par
σ z = P r 2 t {\displaystyle \sigma _{z}={\dfrac {Pr}{2t}} }
Il existe aussi une contrainte radiale σ r {\displaystyle \sigma _{r}\ }
qui se développe perpendiculairement à la surface et peut être estimée dans les cylindres à paroi mince comme : σ r = – P {\displaystyle \sigma _{r}={-P}\ }.
Cependant, dans l’hypothèse de parois minces, le rapport r t {\displaystyle {\dfrac {r}{t}}\ }.
est grand, de sorte que dans la plupart des cas, cette composante est considérée comme négligeable par rapport aux contraintes périphériques et axiales.
Vaisseaux à parois épaissesEdit
Lorsque le cylindre à étudier a un r a d i u s / t h i c k n e s s {\displaystyle radius/thickness}.
rapport inférieur à 10 (souvent cité comme d i a m e t e r / t h i c k n e s s < 20 {\displaystyle diamètre/épaisseur<20}.
) les équations du cylindre à paroi mince ne tiennent plus puisque les contraintes varient significativement entre les surfaces intérieures et extérieures et que la contrainte de cisaillement à travers la section transversale ne peut plus être négligée.
Ces contraintes et déformations peuvent être calculées à l’aide des équations de Lamé, un ensemble d’équations développées par le mathématicien français Gabriel Lamé.
σ r = A – B r 2 {\displaystyle \sigma _{r}=A-{\dfrac {B}{r^{2}}}\ }.
σ θ = A + B r 2 {\displaystyle \sigma _{\theta }=A+{\dfrac {B}{r^{2}} } }
where:
A {\displaystyle A}
and B {\displaystyle B}
are constants of integration, which may be discovered from the boundary conditions r {\displaystyle r}
is the radius at the point of interest (e.g., at the inside or outside walls)
A {\displaystyle A}
and B {\displaystyle B}
may be found by inspection of the boundary conditions. For example, the simplest case is a solid cylinder:
if R i = 0 {\displaystyle R_{i}=0}
then B = 0 {\displaystyle B=0}
and a solid cylinder cannot have an internal pressure so A = P o {\displaystyle A=P_{o}}
Etant donné que pour les cylindres à parois épaisses, le rapport r t {\displaystyle {\dfrac {r}{t}}\ }.
est inférieur à 10, la contrainte radiale, proportionnellement aux autres contraintes, devient non négligeable (c’est-à-dire que P n’est plus beaucoup, beaucoup moins que Pr/t et Pr/2t), et donc l’épaisseur de la paroi devient une considération majeure pour la conception (Harvey, 1974, pp. 57).
Dans la théorie des appareils sous pression, tout élément donné de la paroi est évalué dans un système de contraintes tri-axiales, les trois contraintes principales étant les contraintes périphériques, longitudinales et radiales. Par conséquent, par définition, il n’existe pas de contraintes de cisaillement sur les plans transversal, tangentiel ou radial.
Dans les cylindres à paroi épaisse, la contrainte de cisaillement maximale en tout point est donnée par la moitié de la différence algébrique entre les contraintes maximales et minimales, qui est, par conséquent, égale à la moitié de la différence entre les contraintes cerclées et radiales. La contrainte de cisaillement atteint un maximum à la surface interne, ce qui est significatif car il sert de critère de rupture puisqu’il est en bonne corrélation avec les essais de rupture réels des cylindres épais (Harvey, 1974, p. 57).