Ipotesi di parete sottileModifica
Perché l’ipotesi di parete sottile sia valida, il recipiente deve avere uno spessore della parete non superiore a circa un decimo (spesso citato come Diametro / t > 20) del suo raggio. Questo permette di trattare la parete come una superficie, e di conseguenza utilizzare l’equazione di Young-Laplace per stimare la tensione di cerchio creata da una pressione interna su un recipiente a pressione cilindrico a parete sottile:
σ θ = P r t {displaystyle \sigma _{\theta }={dfrac {Pr}{t}}}
(per un cilindro) σ θ = P r 2 t {\displaystyle \sigma _{\theta }={dfrac {Pr}{2t}}}
(per una sfera)
dove
- P è la pressione interna
- t è lo spessore della parete
- r è il raggio medio del cilindro
- σ θ {displaystyle \sigma _{\theta }!}
è lo sforzo a cerchio.
L’equazione dello sforzo a cerchio per gusci sottili è approssimativamente valida anche per vasi sferici, comprese le cellule vegetali e i batteri in cui la pressione interna di turgore può raggiungere diverse atmosfere. Nelle applicazioni ingegneristiche pratiche per i cilindri (tubi), la sollecitazione a cerchio è spesso riorganizzata per la pressione, ed è chiamata formula di Barlow.
Le unità del sistema IPS (Inch-pound-second system) per P sono libbre-forza per pollice quadrato (psi). Le unità per t e d sono pollici (in).Le unità SI per P sono pascal (Pa), mentre t e d=2r sono in metri (m).
Quando il recipiente ha le estremità chiuse, la pressione interna agisce su di esse per sviluppare una forza lungo l’asse del cilindro. Questo è noto come stress assiale e di solito è inferiore allo stress anulare.
σ z = F A = P d 2 ( d + 2 t ) 2 – d 2 {\displaystyle \sigma _{z}={dfrac {F}{A}}={dfrac {Pd^{2}}{(d+2t)^{2}-d^{2}}}
Anche se questo può essere approssimato a
σ z = P r 2 t {\displaystyle \sigma _{z}={dfrac {Pr}{2t}}}
C’è anche una sollecitazione radiale σ r {\displaystyle \sigma _{r}}
Tuttavia, nell’ipotesi di pareti sottili il rapporto r t {displaystyle {dfrac {r}{t}}
è grande, quindi nella maggior parte dei casi questa componente è considerata trascurabile rispetto alle sollecitazioni circolari e assiali.
Vasi a parete spessaModifica
Quando il cilindro da studiare ha un raggio/spessore di r a d i u s / t h i c k n e s {displaystyle radius/thickness}
rapporto inferiore a 10 (spesso citato come d i a m e t e r / t h i c k n e s < 20 {displaystyle diameter/thickness<20}
) le equazioni dei cilindri a parete sottile non reggono più, poiché le sollecitazioni variano significativamente tra le superfici interne ed esterne e lo sforzo di taglio attraverso la sezione trasversale non può più essere trascurato.
Queste tensioni e deformazioni possono essere calcolate usando le equazioni di Lamé, una serie di equazioni sviluppate dal matematico francese Gabriel Lamé.
σ r = A – B r 2 {displaystyle \sigma _{r}=A-{\dfrac {B}{r^{2}}}
σ θ = A + B r 2 {\displaystyle \sigma _{\theta }=A+{\dfrac {B}{r^{2}}}
where:
A {\displaystyle A}
and B {\displaystyle B}
are constants of integration, which may be discovered from the boundary conditions r {\displaystyle r}
is the radius at the point of interest (e.g., at the inside or outside walls)
A {\displaystyle A}
and B {\displaystyle B}
may be found by inspection of the boundary conditions. For example, the simplest case is a solid cylinder:
if R i = 0 {\displaystyle R_{i}=0}
then B = 0 {\displaystyle B=0}
and a solid cylinder cannot have an internal pressure so A = P o {\displaystyle A=P_{o}}
Poiché per i cilindri a parete spessa, il rapporto r t {displaystyle {rdfrac {r}{t}}
è inferiore a 10, la sollecitazione radiale, in proporzione alle altre sollecitazioni, diventa non trascurabile (cioè P non è più molto, molto inferiore a Pr/t e Pr/2t), e così lo spessore della parete diventa una considerazione importante per la progettazione (Harvey, 1974, pp. 57).
Nella teoria dei recipienti a pressione, ogni dato elemento della parete è valutato in un sistema di sollecitazione triassiale, con le tre sollecitazioni principali che sono hoop, longitudinale e radiale. Quindi, per definizione, non esistono sollecitazioni di taglio sui piani trasversale, tangenziale o radiale.
Nei cilindri a parete spessa, la massima sollecitazione di taglio in qualsiasi punto è data dalla metà della differenza algebrica tra la sollecitazione massima e quella minima, che è, quindi, uguale alla metà della differenza tra le sollecitazioni anulare e radiale. La sollecitazione di taglio raggiunge un massimo alla superficie interna, il che è significativo perché serve come criterio di rottura in quanto si correla bene con le prove di rottura reali di cilindri spessi (Harvey, 1974, p. 57).