Tunnväggigt antagandeRedigera
För att det tunnväggiga antagandet ska vara giltigt måste kärlet ha en väggtjocklek som inte är mer än ungefär en tiondel (ofta angivet som Diameter / t > 20) av dess radie. Detta gör det möjligt att behandla väggen som en yta och därefter använda Young-Laplace-ekvationen för att uppskatta den spänning som skapas av ett inre tryck på ett tunnväggigt cylindriskt tryckkärl:
σ θ = P r t {\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{t}}}\ }
(för en cylinder) σ θ = P r 2 t {\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{2t}}}\ }
(för en sfär)
varifrån
- P är den interna tryck
- t är väggtjockleken
- r är cylinderns medelradie
- σ θ {\displaystyle \sigma _{\theta }\!}
är ringspänningen.
Ekvationen för ringspänning för tunna skal är också ungefär giltig för sfäriska kärl, bland annat växtceller och bakterier där det inre turgatrycket kan nå flera atmosfärer. I praktiska tekniska tillämpningar för cylindrar (rör) omformas ofta ringspänningen till tryck och kallas Barlows formel.
Enheterna för P i IPS-systemet (Inch-pound-second system) är pounds-force per square inch (psi). Enheterna för t och d är tum (in). SI-enheterna för P är pascal (Pa), medan t och d=2r är i meter (m).
När kärlet har slutna ändar verkar det inre trycket på dem för att utveckla en kraft längs cylinderns axel. Detta kallas axialspänningen och är vanligtvis mindre än ringspänningen.
σ z = F A = P d 2 ( d + 2 t ) 2 – d 2 {\displaystyle \sigma _{z}={\dfrac {F}{A}}}={\dfrac {Pd^{2}}}{(d+2t)^{2}-d^{2}}}}}\ }
Och detta kan approximeras till
σ z = P r 2 t {\displaystyle \sigma _{z}={\dfrac {Pr}{2t}}}\ }
Det finns också en radiell spänning σ r {\displaystyle \sigma _{r}\ }
som utvecklas vinkelrätt mot ytan och kan uppskattas i tunnväggiga cylindrar som: σ r = – P {\displaystyle \sigma _{r}={-P}\ }
I det tunnväggiga antagandet är dock förhållandet r t {\displaystyle {\dfrac {r}{t}}}\ }
är stor, så i de flesta fall anses denna komponent vara försumbar jämfört med hoop- och axialspänningarna.
Tjockväggiga kärlRedigera
När cylindern som ska studeras har en r a d i u s / t h i c k n e s {\displaystyle radius/thickness}
förhållande på mindre än 10 (ofta citerat som d i a m e t e r / t h i c k n e s s < 20 {\displaystyle diameter/tjocklek<20}.
) håller inte längre ekvationerna för tunnväggiga cylindrar, eftersom spänningarna varierar avsevärt mellan inner- och ytterytor och skjuvspänningar genom tvärsnittet inte längre kan försummas.
Dessa spänningar och belastningar kan beräknas med hjälp av Laméekvationer, en uppsättning ekvationer som utvecklats av den franske matematikern Gabriel Lamé.
σ r = A – B r 2 {\displaystyle \sigma _{r}=A-{\dfrac {B}{r^{2}}}}\ }
σ θ = A + B r 2 {\displaystyle \sigma _{\theta }=A+{\dfrac {B}{r^{2}}}} }
where:
A {\displaystyle A}
and B {\displaystyle B}
are constants of integration, which may be discovered from the boundary conditions r {\displaystyle r}
is the radius at the point of interest (e.g., at the inside or outside walls)
A {\displaystyle A}
and B {\displaystyle B}
may be found by inspection of the boundary conditions. For example, the simplest case is a solid cylinder:
if R i = 0 {\displaystyle R_{i}=0}
then B = 0 {\displaystyle B=0}
and a solid cylinder cannot have an internal pressure so A = P o {\displaystyle A=P_{o}}
Med tanke på att för tjockväggiga cylindrar gäller förhållandet r t {\displaystyle {\dfrac {r}{t}}}\ }
är mindre än 10, blir den radiella spänningen, i förhållande till de andra spänningarna, inte försumbar (dvs. P är inte längre mycket, mycket mindre än Pr/t och Pr/2t), och väggens tjocklek blir därför en viktig faktor att ta hänsyn till vid konstruktionen (Harvey, 1974, s. 57).
I tryckkärlsteorin utvärderas varje givet element i väggen i ett treaxligt spänningssystem, där de tre huvudspänningarna är hoopspänning, longitudinell spänning och radiell spänning. Därför finns det per definition inga skjuvspänningar på tvär-, tangential- eller radialplanet.
I tjockväggiga cylindrar ges den maximala skjuvspänningen i varje punkt av halva den algebraiska skillnaden mellan den maximala och den minimala spänningen, som därför är lika med halva skillnaden mellan ring- och radialspänningen. Skjuvspänningen når ett maximum vid den inre ytan, vilket är betydelsefullt eftersom det fungerar som ett kriterium för brott eftersom det korrelerar väl med faktiska brottprov på tjocka cylindrar (Harvey, 1974, s. 57).