Cilinderspanning

Dunwandige aannameEdit

Om de dunwandige aanname geldig te laten zijn, moet het vat een wanddikte hebben van niet meer dan ongeveer een tiende (vaak aangehaald als Diameter / t > 20) van zijn straal. Dit maakt het mogelijk om de wand als een oppervlak te beschouwen, en vervolgens de Young-Laplace vergelijking te gebruiken voor het schatten van de hoepelspanning die ontstaat door een inwendige druk op een dunwandig cilindrisch drukvat:

σ θ = P r t {\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{t}}\ }

(voor een cilinder) σ θ = P r 2 t {{\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{2t}}}

(voor een bol)

waar

• P is de inwendige druk is
• t de wanddikte is
• r de gemiddelde straal van de cilinder is
• σ θ {Displaystyle \sigma _{\theta }!}
  

  is de hoepelspanning.

De hoepelspanningsvergelijking voor dunne schalen is ook bij benadering geldig voor bolvormige vaten, waaronder plantencellen en bacteriën waarin de inwendige turgordruk kan oplopen tot enkele atmosferen. In praktische technische toepassingen voor cilinders (buizen en pijpen) wordt de hoepelspanning vaak omgerekend voor druk, en wordt dan de formule van Barlow genoemd.

Inch-pound-second system (IPS) eenheden voor P zijn pounds-force per square inch (psi). SI-eenheden voor P zijn pascal (Pa), terwijl t en d=2r in meter (m) zijn.

Wanneer het vat gesloten uiteinden heeft, werkt de inwendige druk daarop in om een kracht langs de as van de cilinder te ontwikkelen. Dit wordt de axiale spanning genoemd en is meestal kleiner dan de hoepelspanning.

σ z = F A = P d 2 ( d + 2 t ) 2 – d 2 {\displaystyle \sigma _{z}={\dfrac {F}{A}}={\dfrac {Pd^{2}}{(d+2t)^{2}-d^{2}}}

Hoewel dit benaderd kan worden tot

σ z = P r 2 t {\displaystyle \sigma _{z}={\dfrac {Pr}{2t}} }

Er is ook een radiale spanning σ r {\displaystyle \sigma _{r}}}

die loodrecht op het oppervlak wordt ontwikkeld en bij dunwandige cilinders als volgt kan worden geschat: σ r = – P {{displaystyle \sigma _{r}={-P}]}

Bij de dunwandige aanname moet echter de verhouding r t {\displaystyle {\dfrac {r}{t}}

is groot, zodat deze component in de meeste gevallen als verwaarloosbaar wordt beschouwd ten opzichte van de hoepel- en axiaalspanningen.

Dikwandige vaten

Wanneer de te bestuderen cilinder een r a d i u s / t h i c k n e s {\displaystyle radius/dikte} heeft

verhouding van minder dan 10 (vaak aangehaald als d i a m e t e r / t h i c k n e s < 20 {displaystyle diameter/dikte<20}

) gelden de vergelijkingen voor dunwandige cilinders niet meer, omdat de spanningen tussen binnen- en buitenoppervlak sterk verschillen en de schuifspanningen door de doorsnede niet meer verwaarloosd kunnen worden.

Deze spanningen en rek kunnen worden berekend met behulp van de Lamé-vergelijkingen, een geheel van vergelijkingen ontwikkeld door de Franse wiskundige Gabriel Lamé.

σ r = A – B r 2 {\displaystyle \sigma _{r}=A-{\dfrac {B}{r^{2}}}

σ θ = A + B r 2 {\displaystyle \sigma _{\theta }=A+{\dfrac {B}{r^{2}}}}

where:

A {\displaystyle A}

and B {\displaystyle B}

are constants of integration, which may be discovered from the boundary conditions r {\displaystyle r}

is the radius at the point of interest (e.g., at the inside or outside walls)

A {\displaystyle A}

and B {\displaystyle B}

may be found by inspection of the boundary conditions. For example, the simplest case is a solid cylinder:

if R i = 0 {\displaystyle R_{i}=0}

then B = 0 {\displaystyle B=0}

and a solid cylinder cannot have an internal pressure so A = P o {\displaystyle A=P_{o}}

Omdat voor dikwandige cilinders de verhouding r t {\displaystyle {\dfrac {r}{t}}

minder dan 10 is, wordt de radiale spanning, in verhouding tot de andere spanningen, niet meer verwaarloosbaar (d.w.z. P is niet langer veel, veel minder dan Pr/t en Pr/2t), en dus wordt de dikte van de wand een belangrijke overweging bij het ontwerp (Harvey, 1974, pp. 57).

In de theorie van drukvaten wordt elk gegeven element van de wand geëvalueerd in een drie-axiaal spanningssysteem, waarbij de drie belangrijkste spanningen hoepel-, langs- en radiaalspanningen zijn. Daarom bestaan er per definitie geen afschuifspanningen op het transversale, tangentiële of radiale vlak.

In dikwandige cilinders wordt de maximale afschuifspanning op elk punt gegeven door de helft van het algebraïsche verschil tussen de maximale en minimale spanningen, die dus gelijk is aan de helft van het verschil tussen de hoepel- en de radiale spanningen. De afschuifspanning bereikt een maximum aan het binnenoppervlak, wat van belang is omdat het als bezwijkcriterium dient, aangezien het goed correleert met werkelijke breukproeven van dikke cilinders (Harvey, 1974, p. 57).